Euler's Eyes
2026-10-12
度量关系
斜边的平方是边的平方和。但这只是直角三角形中高度所揭示的几种关系之一。
谁发现的
直角三角形边之间的关系比 萨摩斯岛的毕达哥拉斯 （公元前六世纪）。董事会 巴比伦 从公元前 1800 年左右开始，使用 3、4、5 等术语来计算正方形的对角线；你 苏尔巴经 从 印度 （约公元前 800 年至公元前 500 年）规定了建造祭坛的规则；和中文文本 周笔算经 提供视觉证据。希腊传统将该定理与毕达哥拉斯联系在一起，但没有文献证据证明他证明了这一定理。我们最古老的示威是在 元素 的 欧几里得 （约公元前 300 年）：命题 I.47 通过面积证明定理，并且 I.48 证明 互惠的。与音高的关系——每条腿和音高为 比例平均数 ——在提案中 六.8 及其推论。
故事
本章的证明是第六卷中欧几里得的证明：高度将三角形分成两个与原来相似的三角形，比例给出了度量关系；将它们两个相加就得到毕达哥拉斯定理。很少有数学陈述能以如此多的方式得到证明：美国教授 Elisha Loomis 在 1940 版的《毕达哥拉斯命题》毕达哥拉斯命题 中汇集了 370 种不同的论证，其中包括未来美国总统 詹姆斯·加菲尔德的一项论证，作者是 1876，用秋千做的。
该定理也是通向无理数的大门：边长为 1 的正方形的对角线测量为 $\sqrt{2}$，并且这个数字不是分数的发现震惊了毕达哥拉斯学派。
在日常生活中
- **工作正方形。**为了检查两堵墙是否形成直角，瓦工在其中一堵墙上标记 3 m，在另一堵墙上标记 4 m，并检查对角线尺寸是否为 5 m（定理的倒数）。
- 屏幕。 电视的“英寸”是对角线：16 x 9 单位的屏幕具有对角线 $\sqrt{16^2 + 9^2} \approx 18{,}4$ 单位。
- 地图和 GPS。 网格地图上两点之间的直线距离是通过毕达哥拉斯定理计算的。
- **楼梯和坡道。**坡道的长度取决于要克服的高度和可用的水平距离。
来源： 毕达哥拉斯 (MacTutor) · 元素，命题 I.47 · 元素，命题 VI.8 · 巴比伦的毕达哥拉斯（MacTutor）。
理论与结构
元素
Definição直角三角形的元素
在三角形 $ABC$ 中，矩形在 $A$ 中，我们垂直于 $\overline{BC}$ 驱动 $\overline{AD}$，$D$ 在 $\overline{BC}$ 中：
| 部分 | 措施 | 姓名 |
|---|---|---|
| $\overline{BC}$ | $a$ | 斜边 |
| $\overline{AC}$ | $b$ | 卡托 |
| $\overline{AB}$ | $c$ | 卡托 |
| $\overline{BD}$ | $m$ | 腿 $c$ 到斜边的投影 |
| $\overline{CD}$ | $n$ | 腿 $b$ 到斜边的投影 |
| $\overline{AD}$ | $h$ | 相对于斜边的高度 |
为了简化，我们将线段与其度量混淆：我们说“$a$是斜边”而不是“$a$是斜边的度量”。
相似之处
Teorema高度将三角形分成相似的三角形
相对于斜边的高度 $\overline{AD}$ 确定两个直角三角形 $DBA$ 和 $DAC$，类似于三角形 $ABC$：
$$\triangle ABC \sim \triangle DBA \sim \triangle DAC.$$查看演示
设 $\hat 1 = B\hat AD$ 和 $\hat 2 = D\hat AC$ 为。由于 $\hat B$ 和 $\hat 1$ 都是 $\hat 2$ 的补集（在三角形 $ABD$ 和 $ABC$ 中），所以我们有 $\hat B \equiv \hat 1$；同样，$\hat C \equiv \hat 2$。每对三角形都有一个直角和一个全等角；在 AA 情况下，三个三角形是相似的。
度量关系
三个相似点中，写出同源边之间的比率：
$$\triangle ABC \sim \triangle DBA:\quad \frac{a}{c} = \frac{b}{h} = \frac{c}{m} \;\Rightarrow\; c^2 = a\,m \quad\text{e}\quad b\,c = a\,h$$$$\triangle ABC \sim \triangle DAC:\quad \frac{a}{b} = \frac{b}{n} = \frac{c}{h} \;\Rightarrow\; b^2 = a\,n \quad\text{e}\quad b\,h = c\,n$$$$\triangle DBA \sim \triangle DAC:\quad \frac{c}{b} = \frac{h}{n} = \frac{m}{h} \;\Rightarrow\; h^2 = m\,n \quad\text{e}\quad c\,h = b\,m$$Resumo直角三角形中的度量关系
| (1) $b^2 = a \cdot n$ | (4) $b \cdot c = a \cdot h$ |
| (2) $c^2 = a \cdot m$ | (5) $b \cdot h = c \cdot n$ |
| (3) $h^2 = m \cdot n$ | (6) $c \cdot h = b \cdot m$ |
比例平均值。段$x$是$\dfrac{r}{x} = \dfrac{x}{s}$时$r$和$s$之间的比例平均值（或几何平均值），即$x^2 = r \cdot s$或$x = \sqrt{r \cdot s}$。用这种语言：
Propriedade关系陈述
在任意直角三角形中：
- 每条边是其在斜边上的投影与斜边之间的比例平均值：$b^2 = a\,n$和$c^2 = a\,m$；
- 相对于斜边的高度是它在斜边上确定的线段之间的比例平均值：$h^2 = m\,n$；
- 腿的乘积等于斜边和相对于它的高度的乘积：$b\,c = a\,h$；
- 一侧与相对于斜边的高度的乘积等于另一侧与第一侧在斜边上的投影的乘积：$b\,h = c\,n$ 和 $c\,h = b\,m$。
毕达哥拉斯定理
Teorema毕达哥拉斯定理
边的平方和等于斜边的平方：
$$b^2 + c^2 = a^2.$$查看演示
将成员添加到成员关系 (1) 和 (2)：
$$b^2 + c^2 = a\,n + a\,m = a\,(m + n) = a \cdot a = a^2.$$Atenção观察结果
1ª) 前三个关系 $b^2 = a\,n$、$c^2 = a\,m$ 和 $h^2 = m\,n$ 是最重要的：所有其他关系都遵循它们。例如，将 (1) 乘以 (2) 并使用 (3)：$b^2c^2 = a^2 m n = a^2 h^2$，因此为 $b\,c = a\,h$。
2ª) 在直角三角形中，边的平方倒数之和等于相对于斜边的高度的平方反比：
$$\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{h^2}.$$确实，$\dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} = \dfrac{c^2 + b^2}{b^2c^2} = \dfrac{a^2}{a^2h^2} = \dfrac{1}{h^2}$。
毕达哥拉斯定理的逆
Teorema毕达哥拉斯定理的逆
如果在一个三角形中，一侧的平方等于另外两侧的平方和，则该三角形是矩形：
$$\triangle ABC \text{ com } a^2 = b^2 + c^2 \;\Longrightarrow\; \triangle ABC \text{ é retângulo em } A.$$查看演示
我们构造三角形 $MNP$，即 $M$ 中的一个矩形，其边为 $\overline{MN} \equiv \overline{AB}$ 和 $\overline{MP} \equiv \overline{AC}$。根据勾股定理 $MNP$、$m^2 = n^2 + p^2 = b^2 + c^2 = a^2$，因此 $m = a$。在LLL的情况下，$\triangle ABC \equiv \triangle MNP$并且由于$MNP$是$M$中的矩形，所以三角形$ABC$是$A$中的矩形。
Propriedade中线相对于斜边
相对于斜边的中位数测量斜边的一半。因此，斜边的中点是直角三角形的外接圆的圆心——斜边是直径（它是章节11的半圆的内切角）。