Exercícios e resoluções 445 Os triângulos $ABC$ e $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ da figura são semelhantes. Se a razão de semelhança do 1º para o 2º é $\dfrac{3}{2}$, determine: a) $a$, $b$ e $c$; b) a razão entre os seus perímetros. Ver respostaa) $a = 21$, $b = 18$ e $c = 15$ · b) $\dfrac{3}{2}$ 446 Os triângulos $ABC$ e $PQR$ são semelhantes. Determine $x$ e $y$. Ver resposta$x = 16$ e $y = 14$
Duas cordas que se cruzam dentro de uma circunferência: o produto das partes de uma é igual ao produto das partes da outra. Com essa ideia se calcula até a distância do horizonte. Quem descobriu As duas formas clássicas estão nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): a proposição III.35, sobre cordas que se cortam, e a III.36, sobre uma secante e uma tangente traçadas do mesmo ponto exterior. O nome potência de um ponto foi criado bem depois, em 1826, pelo suíço Jakob Steiner, que percebeu que o produto é sempre o mesmo, qualquer que seja a reta traçada pelo ponto.
Para garantir que dois triângulos são semelhantes, não é preciso conferir tudo: bastam dois ângulos, ou três razões entre lados. Quem descobriu Os três critérios estão no livro VI dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): triângulos equiângulos têm lados proporcionais (VI.4, o caso AA), triângulos com os três lados proporcionais são semelhantes (VI.5, LLL), e dois lados proporcionais com o ângulo entre eles igual também bastam (VI.6, LAL). Bem antes, a tradição atribui a Tales o uso de triângulos de mesma forma para medir distâncias inacessíveis.
Duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma, mesmo com tamanhos diferentes. É a matemática das fotos, dos mapas e das maquetes. Quem descobriu A ideia está nas histórias sobre Tales de Mileto, que teria medido a altura de uma pirâmide comparando sua sombra com a de uma vara. A teoria completa está no livro VI dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.), que define figuras semelhantes como as que têm ângulos iguais e lados proporcionais. Ela depende da teoria das proporções de Eudoxo de Cnido (século IV a.C.), do livro V, que permitiu tratar também razões entre segmentos incomensuráveis.