13 章中的练习——三角形和点幂的相似性

图中的三角形$ABC$和$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$是相似的。若第1个与第2个的相似比为$\dfrac{3}{2}$，则确定：a)$a$、$b$和$c$； b) 它们的周长之比。

三角形 $ABC$ 和 $PQR$ 相似。确定$x$和$y$。

如果$\triangle KLM$与$\triangle FGH$相似，则确定$x$。

三角形 $ABC$ 的三条边的尺寸为 8 厘米、18 厘米和 16 厘米。确定与 $ABC$ 相似的三角形 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ 的边，知道第一个与第二个的相似比等于 3。

如果$\overline{DE}$与$\overline{BC}$平行，则在以下情况下确定$x$（在b中，$x = AD$）：

从$\triangle ABC$我们知道$AB = 20$m，$BC = 30$m和$AC = 25$m。如果$D$在$\overline{AB}$中，$E$在$\overline{AC}$中，$\overline{DE}$与$\overline{BC}$和$DE = 18$平行，则确定$x = DB$和$y = EC$。

证明，如果两个三角形之间的相似比为 $k$，则它们的周长之比也为 $k$。

两个三角形 $ABC$ 和 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ 是相似的。知道侧面 $\overline{AB}$ 尺寸为 20 厘米，其对应物 $\overline{A^{\prime}B^{\prime}}$ 测量 40 厘米，确定三角形的周长 $ABC$，已知三角形的周长 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ 是200厘米。

三角形的周长为 60 米，其中一条边为 25 米。与给定边相对的边尺寸为 15 米的相似三角形的周长是多少？

三角形的边长为 8,4 厘米、15,6 厘米和 18 厘米。该三角形类似于周长为 35 厘米的三角形。计算第二个三角形的最长边。

在三角形 $ABC$ 中，边长为 $AB = 4$ 厘米、$BC = 5$ 厘米和 $AC = 6$ 厘米。计算类似于 $ABC$ 的三角形的边，其周长为 20 厘米。

边长为 12 m、18 m 和 20 m 的三角形与周长为 30 m 的三角形相似。计算最小三角形的最小边的长度。

图中为$AB = 2 \cdot BC$和$BE = 14$。已知 $\overline{BE} \parallel \overline{CD}$，计算 $CD$。

梯形的底边尺寸为 12 m 和 18 m，底边倾斜的边尺寸为 5 m 和 7 m。确定通过延伸倾斜于底边的边而获得的最小三角形的边。

如果具有“等号”的角全等，则确定以下情况中的未知数：

如果$\alpha = \beta$，则在以下情况下确定$x$和$y$：

在下列情况下确定$x$和$y$：

由于$r$和$s$是平行线，因此在以下情况下确定$x$：

如果 $\overline{AB} \parallel \overline{ED}$、$DE = 4$ cm、$CD = 2$ cm 和 $BC = 6$ cm，则计算 $\overline{AB}$ 的测量值。

图中，$\overline{AB}$与$\overline{DE}$平行。 a) 证明三角形$ABC$和$EDC$相似。 b) 根据$AB = 5$、$AC = 6$、$BC = 7$和$DE = 10$，计算$CD$。

下图中，确定$x$的值。

计算$x$的值，知道下图是一个平行四边形。

图中为$AB = 8$cm、$BC = 3$cm、$AE = 5$cm。已知 $A\hat{C}E \equiv A\hat{D}B$，计算 $x = DE$。

在图中，确定$x$。

根据该图，确定 $x$ 的值。

在图中，我们考虑边长为 $a$ 和 $b$ ($a > b$) 的正方形。计算$x$的值。

在图中，我们考虑边长为 $x$、6 和 9 的正方形。确定边长为 $x$ 的正方形的周长。

求下图中正方形的边长。

将斜边延伸到梯形的底边，我们得到点 $E$ 以及三角形 $ECD$ 和 $EAB$。确定两个三角形相对于梯形底边的高度之间的关系，其中 12 厘米和 4 厘米是梯形底边的测量值。

梯形 $ABCD$ 的底边尺寸为 50 厘米和 30 厘米，高度为 10 厘米。延长非平行边，它们相交于点 $E$。确定三角形 $ABE$ 的高度 $\overline{EF}$ 和三角形 $CDE$ 的高度 $\overline{EG}$。

在高 20 厘米和底 $\dfrac{50}{3}$ 厘米的 等腰三角形 中，高 8 厘米的矩形内接于三角形的底。计算矩形底边的尺寸。

确定$x$和$y$。

图中，我们有$AB = 8$、$BC = 15$、$AC = 17$和$EC = 4$。确定$x = DE$和$y = CD$。

图中，正方形$DEFG$内接于三角形$ABC$。使用 $BD = 8$ 厘米和 $CE = 2$ 厘米，计算正方形的周长。

在矩形 $ABCD$ 中，边 $\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 的尺寸为 20 厘米和 12 厘米。以 $M$ 为边 $\overline{AB}$ 的中点，计算 $EF$，即从点 $E$ 到边 $\overline{AB}$ 的距离，其中 $E$ 为对角线 $\overline{BD}$ 与线段 $\overline{CM}$ 的交点。

图中确定$x$。

让我们考虑一个边长为 $BC = 10$ 厘米的三角形 $ABC$。令 $\overline{CD}$ 为三角形的内线段，$D$ 位于 $\overline{AB}$ 边。已知 $BD = 4$ cm 以及角度 $B\hat{A}C$ 和 $B\hat{C}D$ 相等，确定 $\overline{AD}$ 的尺寸。

通过直线的点 $A$ 和 $B$，向该直线绘制垂线。我们在它们上取线段 $AC = 13$ cm 和 $BD = 7$ cm。在线段$AB = 25$cm中，取点$P$使得角度$A\hat{P}C$和$B\hat{P}D$全等。计算 $\overline{AP}$ 的测量值。

考虑由三角形 $ABC$ 外接的圆。设 $\overline{AE}$ 为该圆的直径，$\overline{AD}$ 为三角形的高度。根据 $AB = 6$ 厘米、$AC = 10$ 厘米和 $AE = 30$ 厘米，计算高度 $\overline{AD}$。

计算图中三角形$ABC$外接圆的半径$R$，即$AB = 4$、$AC = 6$和$AH = 3$。

半径为 $R$ 和 $r$ 的两个圆在点 $A$ 处外切。由于 $C$ 和 $D$ 是两个圆外部直线 $t$ 的切点，因此确定三角形 $ACD$ 相对于边 $\overline{CD}$ 的高度。

点$O$是菱形$ABCD$的对角线$\overline{AC}$和$\overline{BD}$的交点。将边 $\overline{AD}$ 延伸到点 $F$，使得 $DF = 4$ 米。如果$\overline{OF}$在$E$和$ED = 2$m中满足$\overline{CD}$，则确定菱形的边。

从三角形$ABC$我们知道角度$\hat{A}$是角度$\hat{C}$、$AB = 6$米和$AC = 10$米的两倍。确定$BC$。

图中，射线$\overrightarrow{PA}$和$\overrightarrow{PB}$与圆相切。如果从$Q$到切线的距离为4和9，求从$Q$到弦$\overline{AB}$的距离。

直线 $t$ 和 $f$ 与 $A$ 中的圆相切。根据$a = BC$和$b = BD$确定$AB$。

图中，$\overline{RQ}$垂直于$\overline{PQ}$，$\overline{PQ}$垂直于$\overline{PT}$，$\overline{TS}$垂直于$\overline{PR}$。证明$TS \cdot RQ = PS \cdot PQ$。

在每种情况下，确定未知数。

确定下图中$x$的值。

在以下情况下确定 $x$：

图中，计算字符串$\overline{BD}$和$\overline{CE}$的尺寸，分别为$AB = 3x$、$AC = 4x - 1$、$AD = x + 1$和$AE = x$。

确定下图中$x$的值。

在下列情况下确定圆的半径：

图中，$ED : EC = 2 : 3$、$AE = 6$、$EB = 16$，计算$\overline{CD}$的长度。

确定线段 $\overline{DE}$ 的尺寸，已知 $\overline{AB}$ 是圆的直径，$B$ 是线段 $\overline{BC}$ 与圆的切点，$\overline{DE}$ 平行于 $\overline{BC}$。

计算点 $P$ 相对于以 $O$ 为中心、半径为 $r$ 的圆的幂，作为 $O$ 和 $P$ 之间的距离 $d$ 以及半径 $r$ 的函数。

在书中的图中，计算$\text{pot}\,A + \text{pot}\,B + \text{pot}\,C$（相对于周长$\lambda$的幂）。

通过距离圆 18 厘米的点 $P$，绘制一条割线，确定圆上测量 10 厘米的弦 $\overline{AB}$。已知 $\overline{AB}$ 通过圆心，计算从点 $P$ 绘制的圆的切线长度。

确定图中大圆象限内接的小圆的半径，$2R$为大圆的直径。

两条弦 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$ 相交于圆内的点 $P$。确定线段 $\overline{BP}$ 的尺寸，已知线段 $\overline{CP}$、$\overline{DP}$ 和弦 $\overline{AB}$ 的尺寸分别为 1 cm、6 cm 和 5 cm。

在一个圆圈中，两条绳子互相割断。第一个字符串的两个段的乘积是 $25\ \text{cm}^2$。已知，在第二串中，最小的段值是最大的段的$\dfrac{1}{4}$。确定第二个字符串的最长段的长度。

$\overline{AB}$和$\overline{AC}$是两个尺寸相等的字符串，属于一个圆。弦 $\overline{AD}$ 与弦 $\overline{BC}$ 相交于点 $P$。证明三角形 $ABD$ 和 $APB$ 相似。