Euler's Eyes
2026-10-11
点功率
相交在一个圆内的两条弦：其中一个部分的乘积等于另一个部分的乘积。有了这个想法，就可以计算出到地平线的距离。
谁发现的
这两种经典形式出现在欧几里德（公元前300）的几何原本中：关于相互切割的绳索的命题III.35，以及III.36，位于从同一外点绘制的割线和切线上。 点的幂这个名字是在很久以后的1826中由瑞士人Jakob Steiner创建的，他意识到无论点画出的直线是什么，乘积总是相同的。
故事
斯坦纳是 19 世纪合成几何领域的伟大人物之一。他是农民的儿子，在 14 岁时才学会写作，并最终成为柏林大学的教授。对他来说，点的力量是将欧几里得的几个定理整合成一个想法的一种方式。
这个概念引出了其他概念：两个圆的根轴是相对于两个圆具有相同幂的点的位置，这是当今在相切问题中使用的工具。
在日常生活中
- 距地平线的距离。 从海平面以上的高度 $h$ 开始，地平线的切线测量为 $d$，其中 $d^2 = h(2R + h)$，其中 $R$ 是地球的半径 (III.36)。在 1,7 米高度处，地平线距离约 4,7 公里。
- **弓的半径。**测量弦$c$和箭头$s$（弓的高度），半径为$r = \tfrac{c^2/4 + s^2}{2s}$。修复者用它来重建旧的拱门和窗户。
- **道路曲线。**测量员以相同的方式计算曲线的半径，在沥青上测量弦和箭头。
- **透镜和镜子。**透镜的曲率半径是通过测量已知直径部分的深度获得的。
来源： 元素，命题 III.35 · 元素，命题 III.36 · Steiner (MacTutor)。
理论与结构
通过点 $P$，两条直线在 $A$、$B$ 和 $C$、$D$ 中穿过圆 $\lambda$。有两种情况：$P$ 内部（直线形成在 $P$ 处切割的弦）或 $P$ 外部（我们有“割线段”$\overline{PA}$ 和 $\overline{PC}$，以及外部部分 $\overline{PB}$ 和 $\overline{PD}$）。
Teorema弦和割线
在这两种情况下，
$$PA \cdot PB = PC \cdot PD.$$- **绳索：**如果两条绳子互相切割，其中一根绳子的部分的乘积等于另一根绳子部分的乘积。
- **割线：**如果从一个外点我们进行两条割线线段，则每条割线线段与其外线部分的乘积是相同的。
**演示。**在三角形 $PAD$ 和 $PCB$ 中，$P$ 中的角度是公共的（或 o.p.v.）和 $\hat{A} \equiv \hat{C}$（看到相同弧 $\overset{\frown}{BD}$ 的铭文）。在 AA 情况下，为 $\triangle PAD \sim \triangle PCB$，因此为 $\dfrac{PA}{PC} = \dfrac{PD}{PB}$，即 $PA \cdot PB = PC \cdot PD$。
Definição一个点的幂
一旦 $P$ 和周长固定，对于任何穿过 $P$ 的弦（或割线），乘积 $PA \cdot PB$ 是相同的。该数字是 $P$ 相对于周长的幂。如果 $P$ 是外角且 $\overline{PT}$ 是相切的（三角形 $PAT$ 和 $PTB$ 相似）：
$$PA \cdot PB = PC \cdot PD = \cdots = PT^2.$$就半径 $r$ 和距离 $d = PO$ 而言：功率值 $|d^2 - r^2|$（练习 499）。
