Euler's Eyes
2026-10-11
相似性案例（标准）
为了确保两个三角形相似，不必检查所有内容：两个角度或三个边之间的比率就足够了。
谁发现的
这三个标准位于欧几里得的几何原本的第六册中（c. 300 BC）：三角形等角具有成比例的边（VI.4，情况AA），三角形具有三个比例边的情况类似 (VI.5, LLL)，并且两个之间角度相等的比例边也足够 (VI.6, LAL)。更早以前，传统将使用相同形状的三角形来测量难以到达的距离归因于故事。
故事
相似性标准是三角测量的工具，即测量整个国家的方法。在1615中，荷兰人Willebrord Snellius用一串三角形测量了阿尔克马尔和卑尔根奥普佐姆之间的距离，并估计了地球的大小。 18世纪，卡西尼号家族以同样的方式制作了第一张法国通用地图。
AA 外壳的功能尤其强大：即使从远处，也可以用简单的仪器测量两个角度，并保证所有边的比例。
在日常生活中
- **河流的宽度。**河岸上标有两个相似的三角形，上面有木桩和瞄准器；过河的一侧按比例计算。
- 相机暗箱和眼睛。 物体及其图像形成相似的三角形，与孔中的顶点相对（案例 AA）。
- **坡道和楼梯。**具有相同倾斜度的两个坡道具有相似的轮廓，无论长度如何。
- 正方形。 具有相同角度（45° 或 30° 和 60°）的不同大小的正方形是相似的。
来源： 元素，命题 VI.4 · 元素，命题 VI.6 · Snellius (MacTutor)。
理论与结构
Teorema第一种情况——AA（两个角度）
如果两个三角形有两个角有序全等，那么它们是相似的（因此具有比例同源的边）。
**演示。**如果它们不一致，假设 $AB > A^{\prime}B^{\prime}$ 并在 $\overline{AB}$ 和 $AD = A^{\prime}B^{\prime}$ 中取 $D$，在 $\overline{AC}$ 和 $\hat{D} \equiv \hat{B}^{\prime}$ 中取 $E$。作者：ALA，$\triangle ADE \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$。如$\hat{D} \equiv \hat{B}^{\prime} \equiv \hat{B}$、$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$，并由基本定理$\triangle ABC \sim \triangle ADE \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$。
Teorema第二种情况——LAL（比例边和角度）
如果三角形的两条边与另一条边成比例，并且所组成的角相等，则这两个三角形相似。
Teorema第三种情况 - LLL（三比例边）
如果两个三角形具有同比例的边，则它们相似。
第 2 种和第 3 种情况的演示与第 1 种类似，使用同余情况 LAL 和 LLL 代替 ALA。
Exemplo一对不平行的
书中数字$\hat{S} \equiv \hat{B}$，有$AB = 10$厘米、$BC = 8$厘米、$AC = 14$厘米和$AS = 5$厘米； $\overline{RS}$ 不与 $\overline{BC}$ 平行。即便如此，由于 $\hat{A}$ 很常见，$\triangle ARS \sim \triangle ACB$（情况 AA）。用同源边（相对的相等角度）组装比例：
$$\frac{x}{8} = \frac{5}{10} = \frac{y}{14} \Rightarrow RS = x = 4 \text{ cm e } AR = y = 7 \text{ cm}.$$Resumo如果相似度为k
然后，同源边、周长、同源高度、同源中线、角平分线 同源内径、内接圆和外接圆的半径之间的比率 $k$ — 任何一对同源线性元素 — 以及同源角是全等的。
