当两个图形具有相同的形状时，即使它们的大小不同，它们也是相似的。这是照片、地图和模型的数学。

谁发现的

这个想法出现在关于米利都传说的故事中，他们通过将金字塔的影子与棍子的影子进行比较来测量金字塔的高度。完整的理论位于欧几里得（约公元前300）的几何原本第六册中，它将相似的图形定义为具有等角和比例边的图形。它取决于第五卷中Eudoxus of Cnidus（公元前 4 世纪）的比例理论，该理论也允许处理不可通约片段之间的比率。

米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。
米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域
欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。
欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域

故事

影子法成为一种工具。从中世纪开始，星盘和象限上就刻有阴影方，并有直本影和本影两种刻度，用来测量塔的高度和井的深度，无需复杂的计算。

旧雕刻：塔的高度是从观察者的两个位置用阴影（直本影和本影）的平方来测量的。
旧雕刻：塔的高度是从观察者的两个位置用阴影（直本影和本影）的平方来测量的。欧拉之眼博客的集合。

大约公元前 270，萨摩斯岛的阿里斯塔克斯使用类似的三角形来估计从地球到月球和太阳的相对距离。这些数字与真实数字相去甚远，但比较天空中相似三角形的方法是正确的。

萨摩斯岛的阿里斯塔克斯，后来的艺术表现。
萨摩斯岛的阿里斯塔克斯，后来的艺术表现。克劳迪奥·卡莫齐·维基共享资源·公共领域

在日常生活中

  • **放大照片。**在不扭曲的情况下“缩放”时，所有测量值都会乘以相同的系数。
  • 模型和微缩模型。 比例为 1 : 43 的购物车的每个尺寸都比真车小 43 倍。
  • **影子的建筑物高度。**同时将建筑物的影子与已知身高的人的影子进行比较。
  • **投影仪和相机。**屏幕或传感器上的图像与物体相似，大小与距离成正比。

来源： 故事 (MacTutor) · 元素，第六册 · Aristarchus (MacTutor)。

理论与结构

Definição相似三角形

两个三角形相似（符号$\sim$）当且仅当它们具有三个有序全等角和比例同调边：

$$\triangle ABC \sim \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} \iff \begin{cases} \hat{A} \equiv \hat{A}^{\prime},\ \hat{B} \equiv \hat{B}^{\prime},\ \hat{C} \equiv \hat{C}^{\prime} \\ \dfrac{a}{a^{\prime}} = \dfrac{b}{b^{\prime}} = \dfrac{c}{c^{\prime}} = k \end{cases}$$

同源边（同源 = 相同，徽标 = 位置）在每个三角形中各有一个，并且是相反的全等角。数字$k$是相似率；如果 $k = 1$，则三角形全等。

相似性具有自反性、对称性和传递性。

更改比率 $k$ 并旋转副本：等角度、等比例边。周长和高度的比例也是$k$；面积，比例为 $k^2$。

Exemplo相似度计算

如果$\triangle ABC \sim \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$，具有$A^{\prime}B^{\prime} = 3$cm、$A^{\prime}C^{\prime} = 7$cm、$B^{\prime}C^{\prime} = 5$cm和$AB = 6$cm，则比率为$k = \dfrac{6}{3} = 2$。所以 $BC = 2 \cdot 5 = 10$ 厘米和 $AC = 2 \cdot 7 = 14$ 厘米。

Teorema基本定理

如果一条直线与三角形的一条边平行并在不同点与另外两条边相交，那么它确定的三角形与第一个三角形相似：

$$\overline{DE} \parallel \overline{BC} \Rightarrow \triangle ADE \sim \triangle ABC.$$

演示

  1. **角度：**如$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$、$\hat{D} \equiv \hat{B}$、$\hat{E} \equiv \hat{C}$（对应），常见的是$\hat{A}$。
  2. 双方： 由泰勒斯定理， $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$.
  3. 通过$E$我们绘制$\overline{EF} \parallel \overline{AB}$，$F$在$\overline{BC}$中。 $BDEF$ 是平行四边形，因此 $DE = BF$，并且由故事 $\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{BF}{BC} = \dfrac{DE}{BC}$ 组成。
  4. 因此$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$，和三角形相似。
拖动$D$：平行$\overline{DE}$总是切割出与原始相似的三角形。

Exemplo应用基本定理

在 $AB = 12$ cm、$AC = 13$ cm 和 $BC = 15$ cm 的三角形中，$\overline{DE}$ 到 $\overline{BC}$ 的平行线是 $DE = 5$ cm。然后是$\dfrac{x}{12} = \dfrac{y}{13} = \dfrac{5}{15}$，即$AD = x = 4$厘米和$AE = y = \dfrac{13}{3}$厘米。