来源： FUVEST – 第一阶段测试，版本 V 和官方模板（已在24/11/2023中修正）， 可在 FUVEST 系列 2024 中找到。

FUVEST 2024 第一阶段（常识测试，19/11/2023）有来自所有人的 90 个问题 学科。这篇文章仅包含12数学问题。这里使用的编号是 证明 V;在 K、Q、X 和 Z 版本中，相同的问题出现在其他数字上。

模板

问题 主题 模板
13 矩阵：产品和社交网络 B
31 圆柱体和圆弧段的体积 B
33 百分比：成本变化 A
34 统计：众数、中位数、均值和极差 A
35 计数：数字时钟反映 B
48 鹅卵石包装 D 或 E（均可接受）
49 平行四边形和三角函数 C
59 指数和对数函数（反函数） D
60 线性系统和折线图 E
63 毕达哥拉斯树：几何级数和对数 C
84 图解：凶杀率 E
85 三角形和长方形数字 D

问题 13：社交网络中的矩阵和连接

陈述

矩阵可用于获取有关社交网络的信息。要了解这是如何 可以做到，让我们以一个由 4 个人组成的小型社交网络为例： $P_1, P_2, P_3, P_4$。与该社交网络关联的矩阵是矩阵 $4 \times 4$：

$$ M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

矩阵的位置 $a_{32}$（行 3，列 2）中的值 1（一）表示人 $P_3$ 遵循 人 $P_2$，而位置 $a_{24}$（行 2，列 4）的值 0（零）表示该人 $P_2$ 未关注人 $P_4$。值 0（零）将被分配给位置 $a_{ii}$。价值的意义 从产品矩阵 $M \times M = M^2$ 的位置 $b_{mn}$ 开始，是从人 $P_m$ 到 人$P_n$正好穿过一个人，而不是两个人，我们将其称为度连接2。

这样，矩阵$M^2$中位置的值可以反映社交网络的覆盖范围，其 潜力和弱点、某些成员的影响力等等。

关于所呈现的社交网络，下列说法正确的是：

  • A) 有 5 对不同的人 ($P_i \neq P_j$)，他们没有 2 程度的联系。
  • B) 有 6 对不同的人 ($P_i \neq P_j$) 仅具有一级联系 2。
  • C) 有 3 对不同的人 ($P_i \neq P_j$) 具有不同 2 程度的 2 个联系。
  • D) 有 3 个人与社交网络中的其他人有 2 程度的联系。
  • E) 只有 1 个人 $P_i$ ($i \neq 3$) 使得 $P_i$ 和 $P_3$ 相互跟随。

**注意并采用：**乘积矩阵$M \times M = M^2$的位置$b_{mn}$由表达式给出 $b_{mn} = a_{m1}a_{1n} + a_{m2}a_{2n} + a_{m3}a_{3n} + a_{m4}a_{4n}$

解决

1。计算 $M^2$。 仅当 $P_m$ 跟随在 $P_k$ 并且 $P_k$ 跟随时，每一项 $a_{mk}a_{kn}$ 才值 1 $P_n$，即统计一条路径$P_m \to P_k \to P_n$。逐行进行：

$$ M^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$

例如，$b_{13} = a_{12}a_{23} + a_{14}a_{43} = 1 + 1 = 2$：从$P_1$经过，到达$P_3$ $P_2$ 或 $P_4$。

2。只看对角线以外的位置（不同的人，$m \neq n$）。这些是 12 有序对：

$b_{mn}$ 的值 对 $(P_m, P_n)$ 数量
0 $(1,2), (1,4), (2,3), (4,3)$ 4
1 $(2,1), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1)$ 6
2 $(1,3), (4,2)$ 2

3。测试替代方案。

  • A) 这些是4未连接的度数对2，而不是5。错误的。
  • B) 它们恰好是6对，具有度数为2的单个连接。 正确。
  • C) 它们是具有两个连接的 2 对，而不是 3。错误的。
  • D) 对于所有 $n \neq 3$，只有 $P_3$ 具有 $b_{3n} \geq 1$（对角线外的线 3 是 $1, 1, 1$）。错误的。
  • E) $P_2$ 和 $P_3$ 相互跟随 ($a_{23} = a_{32} = 1$) 以及 $P_4$ 和 $P_3$ ($a_{43} = a_{34} = 1$)：他们是 2 人，而不是 1。错误的。

答案：替代B。

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问题 31：从圆柱形水车取水

陈述

洒水车的水箱是一个水平轴的直圆柱体， 内部尺寸长度为 6 米，直径为 2 米。某学校承包了以下服务 水车来填充你的水箱。加油后，司机发现 卡车的水箱已满至 3/4 高度，如图所示。

已知，用于供应学校水箱的水量是多少（立方米） 加油前卡车油箱已满？

  • A) $\left(2\pi - \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$
  • B) $\left(2\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$
  • C) $\left(2\pi + \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$
  • D) $\left(4\pi + \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$
  • E) $\left(4\pi + \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$

解决

使用的水是空的圆筒的上部。由于圆柱体是平躺的，所以体积为 （空截面积）×（长度）。

1。截面。 圆的半径为 $r = 1$ 米。全高$3/4$（总高2米）表示水平 距离底部 $1{,}5$ 米处的水，即中心上方 $0{,}5$ 米中心上方。空的部分是一个圆弧段 其弦是距中心的距离 $d = 0{,}5$。

2。圆心角。 令 $\theta$ 为该字符串的圆心角。在由 组成的三角形中 中心、弦的中间和弦的一端：

$$\cos\frac{\theta}{2} = \frac{d}{r} = \frac{0{,}5}{1} \quad\Rightarrow\quad \frac{\theta}{2} = 60^\circ \quad\Rightarrow\quad \theta = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}$$

3。线段面积 = 扇形面积 - 三角形面积：

$$A = \frac{\theta}{2}r^2 - \frac{1}{2}r^2\sin\theta = \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$$

4。使用量。

$$V = 6 \cdot \left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = 2\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 3{,}68 \text{ m}^3$$

答案：替代B ($2\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2}$ m3)。

**要小心陷阱：**替代 E，$4\pi + \frac{3\sqrt{3}}{2}$，是水的体积 留在卡车内 ($6\pi - V$)。问题是用了多少。

要查看，请参阅[圆形区域]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/irracional/geoirra/areacirculo/).

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问题 33：药品成本增加

陈述

一家制药公司生产某种药物，该药物由四种成分组成： 表一所示。还列出了该药物每种成分的每克成本 在此表中。

表一

药物成分 数量（毫克） 成本（R$/g）
A组份 200 700
组分B 70 500
成分C 130 300
成分D 100 120

对于下一批药品的生产，公司将有不同的生产费用，因为 一些组件的成本发生了变化，如表二所示。

表二

药物成分 成本变化（%）
A组份 + 7
组分B − 5
成分C 0
成分D + 10

药品成本增加了多少雷亚尔？

  • A) 9,25
  • B) 12,00
  • C) 12,75
  • D) 36,00
  • E) 86,00

**注意并采用：**考虑其他生产成本保持不变。

解决

**1。单位药品中每种成分的成本。**数量以毫克为单位，成本以毫克为单位 R$每克； $1 \text{ mg} = 0{,}001$ g。

成分 质量（克） 成本（R$）
A 0,200 $0{,}2 \cdot 700 = 140$
B 0,070 $0{,}07 \cdot 500 = 35$
C 0,130 $0{,}13 \cdot 300 = 39$
D 0,100 $0{,}1 \cdot 120 = 12$

2。每种成本的变化。

  • 答：140 $= +9{,}80$ 中的 $+7\%$
  • B：35$= -1{,}75$的$-5\%$
  • C: $0$
  • D: $+10\%$ 来自 12 $= +1{,}20$

3。添加。

$$9{,}80 - 1{,}75 + 0 + 1{,}20 = 9{,}25$$

答案：替代A (R$ 9,25)。

要小心陷阱： 替代方案 B (12,00) 来自添加百分比 ($7 - 5 + 0 + 10 = 12$) 就好像它们是真实的一样。每个百分比适用于不同的值。

要查看，请参阅百分比基础知识.

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问题 34：众数 = 中位数 = 均值 = 范围的列表

陈述

众数、中位数、平均值和范围的概念定义了用于研究一组数据的测量值 数字信息。例如，在 5 数字列表（2、2、4、8、14）中，众数等于 2， 中位数等于 4，平均值等于 6，极差等于 12。

选择表示满足以下条件的 5 正整数列表数量的替代项 条件：众数 = 中位数 = 均值 = 范围 = 23。

  • A) 8
  • B) 9
  • C) 11
  • D) 22
  • E) 44

解决

按升序写入列表：$x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4 \leq x_5$。

1。翻译条件。

  • 中位数 23：$x_3 = 23$。
  • 平均值 23：$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 5 \cdot 23 = 115$。
  • 幅度23：$x_5 = x_1 + 23$。
  • 模式23：23出现的次数比任何其他数字都多。与 $x_3 = 23$ 一样，您需要 $x_2 = 23$ 或 $x_4 = 23$。

它不能是 $x_2 = x_3 = x_4 = 23$：$x_1 + x_5 = 46$ 会留下 $x_5 - x_1 = 23$，这给出 $x_1 = 11{,}5$，不是整数。所以 23 正好出现两次，而其他三个数字必须是 彼此不同（否则时尚上就会有领带）。

2。情况 $x_2 = 23$ 和 $x_4 > 23$。 总和：$x_1 + x_4 + (x_1 + 23) = 69$，然后是 $x_4 = 46 - 2x_1$。 我们需要$23 < x_4 \leq x_5$：

$$46 - 2x_1 > 23 \Rightarrow x_1 \leq 11 \qquad 46 - 2x_1 \leq x_1 + 23 \Rightarrow x_1 \geq 8$$

这些是 4 列表：$x_1 = 8, 9, 10, 11$，例如 $(8, 23, 23, 30, 31)$。

3。情况 $x_4 = 23$ 和 $x_2 < 23$。 总和：$x_1 + x_2 + (x_1 + 23) = 69$，然后是 $x_2 = 46 - 2x_1$。 我们需要$x_1 \leq x_2 < 23$：

$$46 - 2x_1 < 23 \Rightarrow x_1 \geq 12 \qquad x_1 \leq 46 - 2x_1 \Rightarrow x_1 \leq 15$$

这些是 4 列表：$x_1 = 12, 13, 14, 15$，例如 $(12, 22, 23, 23, 35)$。

在任何情况下都不会出现超出 23 的重复值，因此众数实际上是 23。

4。总计： $4 + 4 = 8$ 列表。

答案：替代A (8)。

要查看，请参阅[位置测量](https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/real/estatistica/descritiva/posest/） 以及分散措施.

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问题 35：玻璃上反射的数字时钟时间

陈述

数字时钟使用以下数字来表示特定时间：

这个时钟放置在玻璃桌上，这样玻璃就可以将时间反射到它的表面上。 表面。该图显示了这种情况的一个示例：

从00:00到23:59，玻璃会反射多少次有效时间？

  • A) 96
  • B) 360
  • C) 540
  • D) 640
  • E) 960

解决

1。反射的作用。玻璃位于时钟下方，因此它从上到下翻转图像。 向下，保持从左到右的数字顺序（18:02 变为 18:05）。

**2。哪些数字仍然是数字。**从上到下翻转每个数字：

  • $0 \to 0$、$1 \to 1$、$3 \to 3$、$8 \to 8$（对称）；
  • $2 \to 5$和$5 \to 2$（这是照片所示的）；
  • $4$、$6$、$7$和$9$成为非数字的数字（例如，倒置的6有“肚子”） 顶部和左侧，不是本手表的 9）。

因此只有数字 $\{0, 1, 2, 3, 5, 8\}$ 有用。

3。计算 HH:MM 的次数，其反射也是时间。

  • **小时的十点：**可以是0、1或2，但反映的2变成5，并且没有小时5_。还剩 2 个选项（0 或 1）。
  • **时间单位：**十个0或1，任何有效数字都可以，反射前后：6选项。
  • 分钟的十位： 必须最多为 5: $\{0, 1, 2, 3, 5\}$，反射 $\{0, 1, 5, 3, 2\}$ 也最多为 5: 5 选项。
  • 分钟单位： 6 选项。
$$2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 6 = 360$$

答案：替代B (360)。

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问题 48：运输箱包装

陈述

一家食品公司使用直长方体形状的包装，其尺寸 2 cm x 3 cm x 11 cm，用于存放饼干。为了运输该产品，使用箱子 包装这些包裹，也是直矩形平行六面体的形状，具有尺寸 12 厘米 x 13 厘米 x 26 厘米。下图展示了一个直矩形平行六面体。

确定每个封闭箱中可包装的最大包裹数 运输，不损坏产品。

  • A) 48
  • B) 52
  • C) 56
  • D) 60
  • E) 61

**注意：**在官方模板中（在24/11/2023中更正），FUVEST认为替代方案是正确的 D e E.

解决

1。受体积限制。 每个包装的尺寸为 $2 \cdot 3 \cdot 11 = 66$ cm3，盒子的尺寸为 $12 \cdot 13 \cdot 26 = 4\thinspace 056$ 立方厘米。作为 $4\thinspace 056 / 66 \approx 61{,}5$，不适合超过 61 包装。

2。与 60 的排列。 将包装的 11 厘米侧沿 26 厘米边缘放置：两个 层占据$22$厘米。每层都是一个矩形$12 \times 13$，可以用 26 $2 \times 3$ 矩形（其中一条带 $12 \times 9$ 带有 18，一条带 $12 \times 4$ 带有 8）。 这些是 $2 \cdot 26 = 52$ 包装。剩下一个切片 $12 \times 13 \times 4$，可以容纳更多切片 8 （11 厘米沿 12 厘米，面 $13 \times 4$ 与 $4 \cdot 2$ 矩形 $3 \times 2$）。总计：60。

3。与 61 的排列。 现在将 11 厘米的边沿 13 厘米的边缘放置。

  • 在块 $12 \times 11 \times 26$ 中：3 cm 沿 12 cm（4 行）和 2 cm 沿 26 cm （13 行），11 厘米沿 11 厘米：$4 \cdot 13 = 52$ 包，无多余部分。
  • 剩下 $12 \times 2 \times 26$ 片（2 厘米厚）。其中，包装被放置在 厚度为 2 cm，面 $12 \times 26$ 接收矩形 $3 \times 11$: $4 \cdot 2 = 8$ （3 沿 12，11 沿 26，使用 22 cm），在剩余范围 $12 \times 4$ 中还有空间可以再放置一个 （11 沿 12，3 沿 4）。他们是9。

总计：$52 + 9 = 61$，正好是项目1的限制。因此，最大值为61。

答案：最大值为61，可选E。官方 FUVEST 模板接受 D 和 E。

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问题 49：车库剩余空间（平行四边形）

陈述

圣保罗市的《工程和建筑法规》对职位空缺做出了规定。 在一栋大楼内停放不同类型的车辆。根据代码，尺寸为 根据车辆类型设立停车位，按下表：

表：停车位尺寸取决于车辆类型（以米为单位）。

车辆类型 宽度 长度
汽车 2,20 4,50
残疾人专用汽车 3,70 5,00
摩托车 1,00 2,00
公用事业 2,50 5,50
轻型卡车 3,10 8,00

圣保罗市政厅工程和建筑规范。已改编。

下图显示了建筑物车库项目的一部分。预计职位空缺 用于汽车和摩托车停车位，呈平行四边形形状，角度α测量为60°。

注意：图像未按比例。

摩托车停好后，车库里还有空位。相关工作负责人正在评估 放置可供建筑物居民使用的物体的可能性。措施是什么 该空间中突出显示（虚线）的部分是什么？

  • A) 0,75 m
  • B) 1,15 m
  • C) 1,25 m
  • D) 2,20 m
  • E) 2,25 m

注意并采纳： $\cos(60^\circ) = 0{,}5$ ; $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解决

从图中可以看出，每个空间的宽度是水平测量的（沿着平行线），并且 长度是斜边，使$60^\circ$成为水平线。

**1。最后一个车位的斜面。**它从右上角出来（靠在 墙）并下降到底线，长度为 $4{,}50$ 米。其水平位移为

$$4{,}50 \cdot \cos 60^\circ = 4{,}50 \cdot 0{,}5 = 2{,}25 \text{ m}$$

因此，该侧的脚位于墙左侧 $2{,}25$ 米处。

**2。自行车的位置。**它正好从那只脚开始（它的左侧位于自行车的倾斜一侧）。 汽车空间）并在底线上占据其宽度：$1{,}00$米。

3。墙上还剩下什么：

$$2{,}25 - 1{,}00 = 1{,}25 \text{ m}$$

答案：替代C (1,25 m)。

**要小心陷阱：**替代E（2,25米）只是空位长度的水平投影 开车；她忘记考虑摩托车空间的宽度。

要查看，请参阅平行四边形.

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问题 59：指数及其逆

陈述

考虑函数 $f$，由 $f(x) = b^x$ 给出，带有 $b > 0$、$b \neq 1$ 和 $x \in \mathbb{R}$，及其反函数 $f^{-1}$。该图突出显示了两个点，一个属于 $f$ 图，另一个属于 $f^{-1}$ 图。 确定$b + k$。

  • A) $\frac{5}{6}$
  • B) $1$
  • C) $\frac{6}{5}$
  • D) $\frac{13}{5}$
  • E) $\frac{18}{5}$

解决

1。哪个点来自哪个图形。$f(x) = b^x$的图形与$y$轴（在$y = 1$处）相交并且存在 对于所有$x$；是向右接近 $x$ 轴的曲线，其中点 $\left(3, \frac{27}{125}\right)$。 $f^{-1}(x) = \log_b x$ 的图形仅存在于 $x > 0$，并且是曲线 它“上升”粘在轴 $y$ 上，即点 $\left(\frac{9}{25}, k\right)$ 所在的位置。

2。查找 $b$。

$$f(3) = b^3 = \frac{27}{125} = \left(\frac{3}{5}\right)^3 \quad\Rightarrow\quad b = \frac{3}{5}$$

**3。求$k$。**点$\left(\frac{9}{25}, k\right)$在逆图上，所以 $f^{-1}\left(\frac{9}{25}\right) = k$，即$f(k) = \frac{9}{25}$：

$$\left(\frac{3}{5}\right)^k = \frac{9}{25} = \left(\frac{3}{5}\right)^2 \quad\Rightarrow\quad k = 2$$

4。添加。 $b + k = \frac{3}{5} + 2 = \frac{13}{5}$。

答案：替代D ($\frac{13}{5}$)。

要查看，请参阅对数的属性.

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问题 60：线性系统的图

陈述

考虑线性系统 $\begin{cases} x + 2y = 4 \\\\ 3x - y = 5 \end{cases}$。 选择以图形方式表示该系统的替代方案。

解决

每个方程都是一条直线；右图有两条右线，而不仅仅是交汇点 对。

1。系统解。 根据第二个方程，$y = 3x - 5$。替换第一个：

$$x + 2(3x - 5) = 4 \Rightarrow 7x = 14 \Rightarrow x = 2, \quad y = 3 \cdot 2 - 5 = 1$$

两条线相交于 $(2, 1)$。

2。每一条直线。

  • $x + 2y = 4$：经过$(0, 2)$和$(4, 0)$；斜率 $-\frac{1}{2}$（缓慢下降）。
  • $3x - y = 5$：经过$(0, -5)$和$(2, 1)$；斜率 $3$（快速上升）。

3。比较。 在 A、B 和 C 中，线条在 $(2, 1)$ 中不相交。在 D 和 E 中，会议在 $(2, 1)$ 中，但在 D 下降线非常陡（将轴 $y$ 切割到接近 4,5），因此它不是 $x + 2y = 4$。在 E，递减线经过$(0, 2)$和$(4, 0)$，递增线经过$(0, -5)$：两者匹配。

答案：替代E。

**要小心陷阱：**备选方案 D 也显示在 $(2, 1)$ 处相交的直线。只需检查 交点不够；有必要检查每条直线与轴的相交点。

要回顾，请参阅一级函数.

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问题 63：毕达哥拉斯树（PG 和对数）

陈述

毕达哥拉斯树是一个分阶段构建的扁平图形。在步骤 1 中，它以 边长平方 1 厘米。在步骤2中，在步骤1中的正方形上方构建两个正方形，这样 它的边的尺寸等于等腰直角三角形的边的尺寸 斜边等于步骤 1 中正方形的边。在步骤 3 中，步骤 2 应用于每个新的 得到的正方形，等等。换句话说，在每个新阶段中，前一个阶段都适用于每个阶段 获得的新方块的数量。下图展示了构建Tree的前四个阶段 毕达哥拉斯学派。

公共领域。可用于 https://commons.wikimedia.org/.

从施工的哪个阶段开始，获得的每个新正方形的边第一次变成： 小于步骤 1 中正方形边长的 1 千分之一？

  • A) 26
  • B) 27
  • C) 28
  • D) 29
  • E) 30

注意并采用： $\log_{10} 2 = 0{,}3$

解决

1。步长之比。 在斜边 $\ell$ 的等腰直角三角形中，每条边的尺寸 $\frac{\ell}{\sqrt{2}}$。然后，在每一步，边都乘以 $\frac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-1/2}$。

2。步骤 $n$ 中的一侧（第一项为 1 的 PG）：

$$\ell_n = \left(2^{-1/2}\right)^{n-1} = 2^{-\frac{n-1}{2}}$$

**3。条件。**万分之一是$10^{-4}$：

$$2^{-\frac{n-1}{2}} < 10^{-4}$$

应用 $\log_{10}$（正在增加）：

$$-\frac{n-1}{2}\cdot 0{,}3 < -4 \quad\Rightarrow\quad (n-1)\cdot 0{,}15 > 4 \quad\Rightarrow\quad n - 1 > 26{,}\overline{6}$$

最小的整数是$n - 1 = 27$，即$n = 28$。

检查：步骤27、$\ell = 2^{-13} = \frac{1}{8192} \approx 1{,}2 \times 10^{-4}$（甚至更高）；在步骤28中， $\ell = 2^{-13{,}5} \approx 0{,}86 \times 10^{-4}$（次要）。

答案：替代C (28)。

小心陷阱： 使用 $\ell_n = 2^{-n/2}$ 时会出现替代 B (27)，忘记 步骤 1 已经有边 $1 = 2^0$。

要查看，请参阅对数的属性.

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问题 84：女性的凶杀率（图表阅读）

陈述

《暴力地图集》，发表于 2019，由应用经济研究所和论坛组织 巴西公共安全部门提出了一项研究，以更好地了解该国的暴力行为。数据 此处出现的 是指从 2007 到 2017 的时间段。本文档的其中一章涉及， 具体而言，针对妇女的暴力行为。下图显示了凶杀率的演变 巴西和其他国家的妇女人数（相当于每千名妇女 100 起凶杀案数量），从 2007 到 2017 2017 中费率最低的三个联邦单位。

Ipea/FBSP。暴力地图集，2019。

根据所提供的数据，下列说法正确的是：

  • A) 在提到的联邦单位中，2014 至 2017 期间女性凶杀率下降幅度最大的是圣保罗。
  • B) 与 2007 的比率相比，2017 的三个指定联邦单位的女性凶杀率有所下降。
  • C) 2017 巴西的女性凶杀率高于同年三个联邦单位的凶杀率总和。
  • D) 在提到的联邦单位中，2017女性凶杀率最高的是圣卡塔琳娜州，超过了南部地区其他州的记录。
  • E) 在提到的联邦单位中，研究中记录的女性凶杀率下降幅度最大（在 2016 和 2017 之间）发生在联邦区。

解决

图表近似读数（每 100 千名女性的比率）：

2007 2014 2016 2017
巴西 3,9 4,6 4,5 4,7
联邦区 4,3 4,1 4,1 2,9
圣卡塔琳娜州 2,3 3,2 3,1 3,1
圣保罗 2,8 2,7 2,2 2,2

**A) 错误。**从 2014 到 2017，DF 下降了大约 $4{,}1 - 2{,}9 = 1{,}2$ 点；圣保罗仅下降了约 $2{,}7 - 2{,}2 = 0{,}5$。

B) 错误。 圣卡塔琳娜上升从 2,3 (2007) 左右上升到 3,1 (2017)。

C) 错误。 2017年三项费率之和约为 $2{,}9 + 3{,}1 + 2{,}2 = 8{,}2$，远大于 巴西（约 4.7）。

D) 错误。 圣卡塔琳娜州实际上在 2017 的三个比率中具有最高的比率，但图表没有显示其他比率 南部地区各州（巴拉那州和南里奥格兰德州）；不可能得出她超越他们的结论。此外， 声明本身表示，这三个单位在 2017 的国家中具有最低费率。

**E) 正确。**从 2016 到 2017，DF 从大约 4,1 下降到 2,9（下降了大约 1,2）。 圣卡塔琳娜州实际上很稳定，圣保罗变化很小。

答案：替代E。

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问题 85：三角形和长方形数

陈述

图形数字是表示某些几何配置中的点总数的数字。一 形象数的一个例子是三角形数，它们是可以表示的自然数 几何上呈三角形。前四个三角形数如图所示 图一。虽然数字1不代表三角形，但它被认为是三角形数。

图形数字的另一个例子是长方形数字，它表示帧中的点数。 列数比行数多一个单位的矩形。前四名 长方形数字如图二所示。虽然数字2并不代表长方形的桌子， 它被认为是一个长方形数字。

关于三角形数和长方形数，选择正确的选项。

  • A) 162 是第 15 个三角形数。
  • B) 第 13 个三角形数是素数，第 30 个长方形数是奇数。
  • C) 156 既不是长方形数字，也不是三角形数字。
  • D) 210 是一个三角形和长方形的数字。
  • E) 两个连续三角形数之间的差是等比级数的项。

解决

**1。公式。**第 $n$ 个三角数是 $1 + 2 + \cdots + n$：

$$T_n = \frac{n(n+1)}{2} \qquad (1, 3, 6, 10, \ldots)$$

第 $n$ 个长方形数字是一个包含 $n$ 行和 $n + 1$ 列的表：

$$O_n = n(n+1) \qquad (2, 6, 12, 20, \ldots)$$

2。测试替代方案。

  • A) $T_{15} = \frac{15 \cdot 16}{2} = 120 \neq 162$。错误的。
  • B) $T_{13} = \frac{13 \cdot 14}{2} = 91 = 7 \cdot 13$，它不是质数（并且 $O_{30} = 30 \cdot 31 = 930$ 是偶数）。错误的。
  • C) $156 = 12 \cdot 13 = O_{12}$ 是长方形。错误的。
  • D) $210 = \frac{20 \cdot 21}{2} = T_{20}$ 和 $210 = 14 \cdot 15 = O_{14}$。 正确。
  • E) $T_{n+1} - T_n = n + 1$：差异 $2, 3, 4, \ldots$ 形成算术级数，而不是几何级数。错误的。

答案：替代D (210)。

要查看，请参阅[带有数字序列的几何]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/natuais/geometria/geometria-com-sequencias-de-numeros/).

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