FUVEST 2023 – 第一阶段：解决数学问题

来源： FUVEST – 证明（版本 V） 和官方答案 第一阶段（常识测试，应用于04/12/2022）。

FUVEST 2023 第一阶段有来自所有受试者的 90 个问题。这篇文章带来了 数学问题：21、22、24、36、58 和 84 到 90。编号是 证明 V;在其他版本（K、Q、X 和 Z）中，相同的问题出现在另一个版本中 订单。问题 58 是跨学科的（二氧化碳排放），但可以通过以下方式解决： 图形读取和面积估计，这就是它在这里的原因。

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问题21：累进折扣大米价格（函数）

陈述

在有机产品博览会上，大米被批量出售。展会经理 决定对大米销售提供累进折扣 以下标准：

• 谁购买了 1 公斤大米，谁就支付 R$ 5,00。
• 客户购买的数量越多，支付的总金额就越大。
• 客户购买的数量越多，每公斤的价格就越低。

列出的每个替代方案都提供了一个可能的总公式： 如果客户购买数量 $x$（以公斤为单位）的大米，则他将以雷亚尔支付。 满足既定标准的唯一替代方案是：

• A) $5x^2$
• B) $5\sqrt{x}$
• C) $\dfrac{5}{x}$
• D) $5x$
• E) $5x - x^2$

解决

将 $x$ 公斤的支付总额称为 $T(x)$。 每公斤价值是 $\dfrac{T(x)}{x}$。这三个标准说：

1. $T(1) = 5$;
2. $T(x)$ 正在增加；
3. $\dfrac{T(x)}{x}$ 正在减少。

1。测试每个替代方案。

**2。结论。**只有$T(x) = 5\sqrt{x}$满足三个标准：5在 $x = 1$，随 $x$ 增长，每公斤价格 $\dfrac{5\sqrt{x}}{x} = \dfrac{5}{\sqrt{x}}$， 当 $x$ 增加时减少。例如，4 千克成本为 $5\sqrt{4} = 10$ 雷亚尔，或 即每公斤 R$ 2,50。

答案：替代B ($5\sqrt{x}$)。

注意陷阱： 替代方案 D ($5x$) 满足前两个要求 标准，但每公斤价格始终为 R$ 5,00：没有折扣。 替代方案 C 使每公斤价格下降，但总量也下降，这 与第二个标准相矛盾。

回顾见【函数概念】（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/real/funcoes/conceitofunc/).

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问题 22：等差数列手机分期付款

陈述

Joana 购买了一部手机，并将付款分为 24 笔每月分期付款，形成 递增的算术级数。前三期是 R$ 120,00、R$ 126,00 和 R$ 132,00。知道了，最后，发现乔安娜 未支付第19期款项，支付金额为：

• A) R$ 3.954,00
• B) R$ 4.026,00
• C) R$ 4.200,00
• D) R$ 4.308,00
• E) R$ 4.382,00

解决

1。识别 PA。 第一项是 $a_1 = 120$，原因是 $r = 126 - 120 = 6$。通用术语是$a_n = a_1 + (n-1)r$。

2。最后一部分。

3。 24 分期付款总和。

4。未支付的分期付款。

5。已支付金额。

答案：替代D (R$ 4.308,00)。

要回顾，请参阅[算术级数]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/natuais/progressao/progressao-aritimetica/).

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问题 24：乙醇和汽油价格之间的比率

陈述

安德烈和比安卡拥有可以使用乙醇、汽油作为燃料的汽车 或两种燃料的混合物。在同一个加油站，安德烈 通过乙醇泵为您的汽车加注 18 升，通过燃油泵为您的汽车加注 32 升。 汽油; Bianca 已经从乙醇泵中为她的汽车加注了 30 升和 20 升来自气泵。得知André支付的总金额为10% 每升乙醇价格与比安卡支付的价格之间的比率高于比安卡支付的价格 汽油是：

• A) $5/8$
• B) $2/3$
• C) $7/10$
• D) $3/4$
• E) $4/5$

解决

令 $e$ 为一升乙醇的价格，$g$ 为一升汽油的价格。

**1。建立方程。**安德烈支付了$18e + 32g$；比安卡支付了 $30e + 20g$。 “10% 更大”意味着将 Bianca 的值乘以 $1{,}1$：

2。找出原因。

3。检查数字。 对于 $e = 2$ 和 $g = 3$：André 付款 $36 + 96 = 132$ 且比安卡支付 $60 + 60 = 120$；和$132 = 1{,}1 \cdot 120$。正确的。

答案：替代B ($2/3$)。

要查看，请参阅百分比基础知识.

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问题 36：毕达哥拉斯尺度（幂）

陈述

在音乐理论中，两个音符之间的音程是通过它们的比率来衡量的 频率（以 Hz 为单位测量）。在毕达哥拉斯音阶中，音调和 a 半音 分别对应于比率 $\frac{9}{8}$ 和 $\frac{256}{243}$。间隔之和对应于比率的乘积。由 例如，在双音区间中，频率之间的比率为 $\frac{9}{8} \cdot \frac{9}{8} = \frac{81}{64}$。

在根据毕达哥拉斯音阶调音的乐器上，如果之间的间隔 一个220赫兹的音符和另一个990赫兹的音符由$n$个音和$m$个半音组成， 总和 $m + n$ 等于：

• A) 13
• B) 14
• C) 15
• D) 16
• E) 17

解决

1。频率之间的比率。间隔是通过比率（而不是 差异）：

2。组装方程。 $n$ 音调和 $m$ 半音对应于乘积

3。分解素数。 $\frac{9}{8} = \frac{3^2}{2^3}$, $\frac{256}{243} = \frac{2^8}{3^5}$ 和 $\frac{9}{2} = \frac{3^2}{2^1}$。然后

4. 比较指数 （质因数分解是唯一的）：

从一开始，$n = \dfrac{2 + 5m}{2}$。在第二个中替换： $16m - 3(2 + 5m) = -2$，即 $16m - 6 - 15m = -2$，然后 $m = 4$ 和 $n = \dfrac{2 + 20}{2} = 11$。

5。会议。 $2 \cdot 11 - 5 \cdot 4 = 2$ 和 $8 \cdot 4 - 3 \cdot 11 = -1$。正确的。 然后$m + n = 4 + 11 = 15$。

答案：替代C (15)。

要查看，请参阅整数的幂.

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问题 58：1950 和 1990 之间的二氧化碳排放总量（图表阅读）

陈述

该图显示了各地区的二氧化碳排放量（单位：十亿吨） 年函数。

可在 https://www.bbc.com/. 处修改。

1950 和 1990 年间的二氧化碳排放总量（以十亿吨为单位）， 介于

• A) 1 e 5.
• B) 5 e 100.
• C) 100 e 300.
• D) 300 e 800.
• E) 800 e 1000.

解决

该图显示每年的排放量。从1950到1990发行的总和是 大约 40 年的排放量，对应于突出显示区域的面积 （较暗）在曲线下。

1。阅读图表。 曲线在此期间不断增加。在1950中广播是 约 6 十亿吨；在 1970 处，靠近 15；在 1990 中，略高于 来自 20（大约 22）。

**2。限制周期的每一半。**随着曲线的增长，在每个拉伸中 每年发行的起始值和结束值之间：

• 从1950到1970（20年）：在$20 \cdot 6 = 120$和$20 \cdot 15 = 300$之间；
• 从 1970 到 1990（20 年）：在 $20 \cdot 15 = 300$ 和 $20 \cdot 22 = 440$ 之间。

加起来：总数在 $120 + 300 = 420$ 到 $300 + 440 = 740$ 十亿之间 吨。

**3。直接估计。**通过底边 6 和 22 的梯形近似该区域以及 身高 40 年：

这两个帐户指向 300 和 800 之间的值。

答案：替代D（在300和800之间）。

要小心陷阱： 替代方案 B（5 和 100）会吸引那些只看轴的人 垂直，年度值范围约为 5 到 22。问题是总计 该期间的总和，即 40 年的排放量之和。

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问题 84：组装测试（组合）

陈述

教师需要准备一项多学科测试，其中包括两个部分： 数学问题和物理问题 6 个问题。他必须从一系列问题中选择问题 数据包含三个数学问题和八个物理问题。测试次数 在不考虑问题出现顺序的情况下，可能的情况是：

• A) 42
• B) 54
• C) 62
• D) 72
• E) 84

解决

顺序并不重要，因此每个选择都是一个组合。

1。数学问题： 在 3 之间选择 2：

**2。物理问题：**在8之间选择6（与选择2相同） 被排除在外）：

3。乘法原理。 每个数学选择都可以与 每个物理选择：

答案：替代E (84)。

要回顾，请参阅帕斯卡三角形.

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问题 85：FIFA 排名（指数和对数）

陈述

FIFA（国际足球联合会）在 2018 实施了最 最近的排名的选择。假设选择 A 和 B，得分 $P_A$和$P_B$将分别参加世界杯决赛。分数 比赛结束后选择 A 的更新将由下式给出

在哪里

$V_A$的值取决于匹配结果，如下表所示：

已知 $P_A - P_B = 360$，如果选择 A 赢得比赛，则其得分 将增加

• A) 6 点。
• B) 10 点。
• C) 12 点。
• D) 15 点。
• E) 20 点。

注意并采用： $\log_{10} 2 = 0{,}3$

解决

1。指数。 $\dfrac{P_A - P_B}{600} = \dfrac{360}{600} = 0{,}6$。

**2。用数据计算$10^{0{,}6}$。**作为$\log_{10} 2 = 0{,}3$，我们有 $10^{0{,}3} = 2$。然后

3。结果预期。

4。胜利时分数增加（$V_A = 1$）：

答案：替代C（12点）。

要查看，请参阅对数的属性.

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问题 86：不规则石头（圆柱体）的体积

陈述

为了测量不规则形状石头的体积，安娜使用了一个容器 半径为 $r = 8$ 厘米的圆柱形，水深为 20 厘米。放置后 容器中的石头，水的高度上升到23,5厘米。

石头的体积为：

• A) $128\pi$ cm³
• B) $224\pi$ cm³
• C) $240\pi$ cm³
• D) $282\pi$ cm³
• E) $320\pi$ cm³

解决

完全浸没的石头取代了等体积的水。这就是为什么 水位上升：石头的体积就是上升的水“圆柱体”的体积。

1。水上升了多少。 $23{,}5 - 20 = 3{,}5$ 厘米。

2.该圆柱体的体积 （半径8厘米，高度3.5厘米）：

答案：替代B ($224\pi$ cm3)。

要查看，请参阅[圆形区域]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/irracional/geoirra/areacirculo/).

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问题 87：本初（素数）

陈述

给定一个自然数 $n \geq 2$，$n$ 的 素数（用 $n\\#$ 表示）是 所有小于或等于 $n$ 的素数的乘积。例如，

大于 $2000$ 的 $n\\#$ 形式的最小数字是：

• A) 2300
• B) 2305
• C) 2310
• D) 2312
• E) 2322

解决

素数仅在 $n$ 通过素数时发生变化，所以只需 按顺序将素数相乘：

2000 下面的最后一个值为 210（对于 $7 \leq n \leq 10$）。下一篇，对于 $n = 11$（甚至$n = 12$）是$2310$，第一个大于2000。

替代方案会议： 具有 $n \geq 5$ 的原初是以下的倍数 $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$。其中，只有2310是30的倍数（2300和2305不是 3 的倍数； 2312 和 2322 不是 5 的倍数）。

答案：替代C (2310)。

要查看，请参阅素数.

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问题 88：统一地砖（正多边形）

陈述

如果平铺由规则多边形组成，则称为均匀 填充整个平面而不重叠，而且每个平面的图案都是相同的 顶点。为了对它们进行分类，我们使用由一系列给出的符号 数字是这样定义的：我们选择任何顶点并指示 包含该顶点的每个多边形的边数，遵循方向 逆时针方向，从边数最少的多边形开始，如示例所示：

图为塞维利亚一家博物馆的地板。

表示地板瓷砖图案的符号是：

• A) (3 . 3 . 3 . 4)
• B) (3 . 3 . 4 . 6)
• C) (3 . 4 . 4 . 4)
• D) (3 . 4 . 4 . 6)
• E) (3 . 4 . 6 . 4)

解决

1。内角。 照片中的多边形是三角形 (60°)、正方形 (90°) 和正六边形 (120°)。在每个顶点，角度必须相加 正是$360^\circ$。

2。测试每个选项的总和。

**3。看看照片中的顺序。**剩下 D 和 E，它们的多边形顺序相同 不同。在照片中，每个顶点都有一个三角形、一个正方形、一个六边形和 另一个方块：两个方块不是邻居，它们由 一侧为三角形，另一侧为六边形。从三角形开始并旋转 逆时针：三角形、正方形、六边形、正方形，即 （3 . 4 . 6 . 4）。

答案：替代E (3 . 4 . 6 . 4)。

要小心陷阱： 替代 D 具有相同的多边形，并且 添加 360°，但将两个正方形并排放置。符号记录了 顶点周围多边形的顺序，照片中的正方形是 分开了。

要查看，请参阅[正多边形]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/geoplan/poligonos/poligonoregular/).

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问题89：没有圆弧的正方形面积（解析几何）

陈述

考虑笛卡尔平面的区域

画在图中。

给定 $B = \\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : (x + 1)^2 + y^2 \geq 1\\}$，该区域的面积 $A \cap B$ 是：

• A) $2 - \frac{\pi}{4}$
• B) $2 - \frac{\pi}{2}$
• C) $4 + \frac{\pi}{2}$
• D) $4 - \frac{\pi}{4}$
• E) $2 + \frac{\pi}{2}$

解决

1。区域 $A$。 是顶点 $(1,0)$、$(0,1)$、$(-1,0)$ 和 $(0,-1)$。它的对角线尺寸为 2，所以它的面积是

2。区域 $B$。 $(x+1)^2 + y^2 \geq 1$ 是外部（或边缘）的点 以 $(-1, 0)$ 为圆心、以 1 为半径的圆。所以 $A \cap B$ 是没有平方的 $A$ 他内部这个圈子的一部分。

3。圆在 $A$ 内的部分。 圆心 $(-1, 0)$ 是圆的顶点 正方形，其中内角为 $90^\circ$。离开该顶点的边进行测量 $\sqrt{2} > 1$，另外两侧在远处 $\frac{|-1 - 1|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} > 1$ 从中心。因此，圆的部分 正方形内部恰好是 90° 的一个扇区（圆的四分之一）：

4。请求的区域。

答案：替代A ($2 - \frac{\pi}{4}$)。

要小心陷阱： 替代方案 B ($2 - \frac{\pi}{2}$) 折扣一半 圆圈。但只有四分之一圆进入正方形，因为圆的角度 顶点 $(-1, 0)$ 处的正方形是直的。

要查看，请参阅[圆形区域]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/irracional/geoirra/areacirculo/).

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问题90：对数函数图

陈述

在笛卡尔平面中，点$(3, 2)$和$(5, 4)$属于函数的图像 给出的

$a + b$的值为：

• A) $-8$
• B) $-6$
• C) $0$
• D) $4$
• E) $8$

解决

1。使用对数定义。 $y = \log_2(ax + b)$ 相当于 $ax + b = 2^y$。

• 点$(3, 2)$：$3a + b = 2^2 = 4$。
• 点$(5, 4)$：$5a + b = 2^4 = 16$。

2。解决系统问题。

从第二个减去第一个：$2a = 12$，然后是 $a = 6$ 和 $b = 4 - 18 = -14$。

3。会议。 $\log_2(6 \cdot 3 - 14) = \log_2 4 = 2$ 和 $\log_2(6 \cdot 5 - 14) = \log_2 16 = 4$。正确的。

答案：替代A ($-8$)。

回顾请参见【对数表简介】(https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/irracional/log/introlog/).

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