Euler's Eyes
2026-09-26
FUVEST 2022 – 第一阶段：解决数学问题
来源： FUVEST – 常识测试，版本 V 以及修正后的官方模板 第一相的值（应用于12/12/2021）。
FUVEST 2022 第一阶段有来自所有受试者的 90 个问题。这篇文章带来了 12 数学问题，在测试 V 中是问题 30 到 41。在其他方面 版本（K、Q、X 和 Z）相同的问题出现，但编号和顺序不同 的替代方案，因此请务必检查测试的版本。
模板
| 问题 | 主题 | 模板 |
|---|---|---|
| 30 | 乘法原理：车牌 | C |
| 31 | 位置数系统 | A |
| 32 | 比例：速度和时间 | C |
| 33 | 百分比和表格 | C |
| 34 | 二次方程：礼物的除法 | D |
| 35 | 算术级数：一口井的成本 | B |
| 36 | 多面体：欧拉关系 | E |
| 37 | 三角学：余弦定律 | A |
| 38 | 多项式：吉拉德关系 | E |
| 39 | 平面几何形状：用胶带围绕储罐 | B |
| 40 | 数量级和单位 | D |
| 41 | 对数：图形读取 | D |
问题30：南方共同市场板块×以前的系统（乘法原理）
陈述
目前，在巴西，两种身份牌照系统并存。 汽车：南方共同市场标准（最新）以及于 1990 开始的标准 （以前的系统，大多数流通汽车仍在使用）。否 以前的系统，使用 3 字母（在 26 字母的字母表中），然后是 4 位（从 0 到 9）。在巴西采用的汽车南方共同市场标准中，有 使用 4 字母和 3 数字，第一个 3 位置和第四个位置 3 字母 第五位字母，并且可能有重复的字母或数字。图 说明了两种类型的板。
这样，巴西南方共同市场标准的可能车牌数量为 汽车比以前的系统更大
- A) 1,5 次。
- B) 2 次。
- C) 2,6 次。
- D) 2,8 次。
- E) 3 次。
解决
**1。以前的系统板。**这些是 7 位置：3 字母（每个都是 26 选项）和 4 数字（每个 10 选项）。原则上怎么可能有重复 乘法：
$$N_{\text{ant}} = 26^3 \cdot 10^4$$2。 Mercosul 标准板。 它们也是 7 位置，但现在是 4 字母和 3 数字（第四个字母的位置不改变计数）：
$$N_{\text{Merc}} = 26^4 \cdot 10^3$$3。两者之间的比率。 无需进行大量计算：只需除以即可。
$$\frac{N_{\text{Merc}}}{N_{\text{ant}}} = \frac{26^4 \cdot 10^3}{26^3 \cdot 10^4} = \frac{26}{10} = 2{,}6$$这是有道理的：我们将具有 10 选项（数字）的头寸交换为具有 26 选项的头寸 （字母），并将总数乘以 $\frac{26}{10}$。
答案：替代C（2,6次）。
问题31：条中中文系统中的数字91625
陈述
被称为科学汉语（或条）的编号系统出现了 可能是两千年前。该系统本质上是定位的， 基数10，右侧第一位数字代表单位。第一个 图中的水平线符号显示了数字1的表示方式， 2、3、4、5、6、7、8 和 9 当它们出现在奇数位置时（个位、百位） 等），以及当这些数字出现在偶数位置时的第二行 （数十、数千等）。在这个系统中，圆开始被用来 代表宋代的数字零（960-1126）。
霍华德·伊夫斯，《数学史导论》。译文: 海吉诺·H·多明格斯. Editora Unicamp，2011（第 5 版）。
选择代表此编号系统中的数字 91625 的替代项。
解决
1。每个数字的位置。 从右向左计数，从 单位：
| 数字 | 9 | 1 | 6 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 位置 | 第五名（数万） | 第四名（千） | 第三名（百名） | 第二次（十年） | 第一名（单位） |
| 奇偶校验 | 奇怪的 | 一对 | 奇怪的 | 一对 | 奇怪的 |
2.符号的选择。 奇数位置使用 第一行 图中的（条 垂直；从 6 到 9，顶部有一条水平线）。偶数位置使用 第二 线 （水平条；从 6 到 9，顶部有一条垂直线）。
- 9 位于奇数位置：四个 垂直条上方的水平线；
- 1 在偶数位置：水平条；
- 6 位于奇数位置：a 垂直条（“T”形）上的水平线；
- 2 在偶数位置：两个水平条；
- 5 位于奇数位置：五个垂直条。
3。与替代方案比较。 只有替代方案 A 恰好具有这一点 序列。其他人拼错了某些数字的形式：B 和 C 写为 1 竖条（奇数位置形状）； B 以偶数位形式写入6； C 用竖线写2； D和E以偶数位置形式写9，并且E 仍然用横线写5。
答案：替代A。
问题32：视频速度为1,5×
陈述
一个视频时长三分钟。如果视频播放，则来自您的 开始，以原速度1,5倍的速度，播放时间 整个视频将是
- A) 1分30秒。
- B) 1 分钟 50 秒。
- C) 2 分钟 00 秒。
- D) 2分30秒。
- E) 2分50秒。
解决
**1。速度和时间成反比。**视频的“内容”是 总是一样的。如果它更快地通过 1,5，则时间除以 1,5。
2。以秒为单位。 三分钟是 180 s：
$$t = \frac{180}{1{,}5} = 120 \text{ s} = 2 \text{ min}$$答案：替代C（2分钟00秒）。
要小心陷阱： 替代方案 A（1 分钟 30 秒）就是您得到的结果 除以 2，就好像速度加倍，或者从 3 中减去 1,5。 对于速度1,5×，时间除以1,5，而不是减半。
问题 33：按颜色划分的缺陷椅子（百分比）
陈述
某行业生产三种型号的椅子（用$M_1$、$M_2$和$M_3$表示）， 它们都有两种颜色可供选择：黑色和红色（用 P 和 V 表示， 分别）。该表显示每周生产的椅子数量 取决于颜色和型号：
| P | V | |
|---|---|---|
| $M_1$ | 500 | 200 |
| $M_2$ | 400 | 220 |
| $M_3$ | 250 | 300 |
有缺陷的椅子的百分比为模型的 2% $M_1$、模型的 5% 模型 $M_3$ 的 $M_2$ 和 8%。没有缺陷的椅子称为 好。
该表显示每周生产的有缺陷的椅子数量 (D) 和 好的（B），根据颜色，是：
A)
| P | V | |
|---|---|---|
| D | 55 | 39 |
| B | 1095 | 681 |
B)
| P | V | |
|---|---|---|
| D | 51 | 40 |
| B | 1099 | 680 |
C)
| P | V | |
|---|---|---|
| D | 50 | 39 |
| B | 1100 | 681 |
D)
| P | V | |
|---|---|---|
| D | 50 | 37 |
| B | 1100 | 683 |
E)
| P | V | |
|---|---|---|
| D | 51 | 39 |
| B | 1099 | 681 |
解决
**1。黑色缺陷。**我们将每个型号的百分比应用于其生产 黑色椅子：
$$0{,}02 \cdot 500 + 0{,}05 \cdot 400 + 0{,}08 \cdot 250 = 10 + 20 + 20 = 50$$2。红色缺陷。
$$0{,}02 \cdot 200 + 0{,}05 \cdot 220 + 0{,}08 \cdot 300 = 4 + 11 + 24 = 39$$**3。好。**全黑：$500 + 400 + 250 = 1150$；好的黑色： $1150 - 50 = 1100$。全红：$200 + 220 + 300 = 720$；红蟒蛇： $720 - 39 = 681$。
表格为：D=50（P）和39（V）； B = 1100 (P) 和 681 (V)。
答案：替代C。
要小心陷阱：请注意，在所有替代方案中，列都会相加 1150和720；一种产品与另一种产品的区别仅在于缺陷数量。计算 百分比模型到模型；对所有人使用“平均”百分比 椅子给出了错误的值。
要查看，请参阅百分比基础知识.
问题34：美容院中的当前除法（二次方程）
陈述
一家美容院的员工购买了价值 R$ 200,00 的礼物 给酒店的接待员。等分时的值， 其中两人退出了参赛，因此，留在队中的每个人 集团必须支付比原计划金额多的 R$ 5,00。价值 剩下的人支付的礼物费用分摊为：
- A) R$ 10,00
- B) R$ 15,00
- C) R$ 20,00
- D) R$ 25,00
- E) R$ 40,00
解决
**1。建立方程。**设$n$为初始员工人数。配额 预测为$\frac{200}{n}$；与 $n - 2$ 人一起，配额变为 $\frac{200}{n-2}$，比 5 更多雷亚尔：
$$\frac{200}{n-2} - \frac{200}{n} = 5$$2。求解。 将所有内容乘以 $n(n-2)$：
$$200n - 200(n-2) = 5n(n-2) \quad\Rightarrow\quad 400 = 5n^2 - 10n$$$$n^2 - 2n - 80 = 0 \quad\Rightarrow\quad n = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2} = \frac{2 \pm 18}{2}$$如$n > 0$、$n = 10$。
3。留下来的人支付的金额。 $10 - 2 = 8$ 留下来的人：
$$\frac{200}{8} = 25$$检查：预期配额为$\frac{200}{10} = 20$和$25 = 20 + 5$。 ✓
答案：替代D (R$ 25,00)。
要小心陷阱：替代 C (R$ 20,00) 是原始配额， 与 10 个人。问题是那些留在部门的人支付了多少钱。
要查看，请参阅 2 次方程.
问题 35：井深（PA 之和）
陈述
一家公司建造了一口井来储存回用水。建造成本 第一个仪表的价格为 R$ 1.000,00，每个新仪表的成本超过 R$ 200,00 比前一个更重要。如果建设总成本为 R$ 48.600,00，则 井深为：
- A) 15 m
- B) 18 m
- C) 21 m
- D) 24 m
- E) 27 m
解决
1。成本形成 PA。 每米的成本为 $1000, 1200, 1400, \ldots$：$a_1 = 1000$和比率的算术级数 $r = 200$。第 $n$ 米的成本为
$$a_n = 1000 + 200(n-1) = 800 + 200n$$2。 $n$ 第一项的总和。
$$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} = \frac{(1000 + 800 + 200n) \cdot n}{2} = (900 + 100n) \cdot n$$3。等于总成本。
$$100n^2 + 900n = 48\thinspace 600 \quad\Rightarrow\quad n^2 + 9n - 486 = 0$$$$n = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 1944}}{2} = \frac{-9 \pm 45}{2}$$正根是$n = 18$。
检查：$a_{18} = 800 + 3600 = 4400$和$S_{18} = \frac{(1000 + 4400) \cdot 18}{2} = 5400 \cdot 9 = 48\thinspace 600$。 ✓
答案：替代B (18 m)。
要回顾，请参阅[算术级数]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/natuais/progressao/progressao-aritimetica/).
问题 36：具有 8 个顶点的三角面体的面（欧拉关系）
陈述
三角面体是面都是等边三角形的多面体。如果一个 凸三角面体有 8 个顶点，因此该三角面体的面数为：
- A) 4
- B) 6
- C) 8
- D) 10
- E) 12
注意并采用： 在凸多面体中，欧拉关系 $F - A + V = 2$ 成立，其中 $F$ 是 面数，$A$ 是边数，$V$ 是顶点数 多面体。
解决
1。按面计算边。 每个面都是一个三角形，有 3 条边。硒 如果我们添加 $3F$，则每条边都会被计数两次（它由两条边共享） 脸）。标识
$$3F = 2A \quad\Rightarrow\quad A = \frac{3F}{2}$$2。与 $V = 8$ 的欧拉关系。
$$F - \frac{3F}{2} + 8 = 2 \quad\Rightarrow\quad -\frac{F}{2} = -6 \quad\Rightarrow\quad F = 12$$然后$A = 18$。 （这样的多面体是存在的：它就是所谓的扁平的蝶形体，其中12 三角脸。）
答案：替代E（12面）。
要小心陷阱： 替代 C (8) 重复顶点数；这 正八面体有 8 面，但只有 6 个顶点。
问题 37：正方形和圆之间的最大角度（余弦定律）
陈述
该图显示了一个正方形和一个圆形，两者都以点 $O$ 为中心。广场 边长为 1 测量单位 (u.m.)，圆的半径等于 2 u.m.。氧 点$A$在正方形的轮廓上，点$B$在正方形的轮廓上 圆，线段 $AB$ 的大小为 2 u.m。
当角度$\theta = A\hat{O}B$最大时，其余弦为：
- A) $\frac{1}{8}$
- B) $\frac{1}{4}$
- C) $\frac{1}{2}$
- D) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- E) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
解决
**1。各不相同。**在三角形 $OAB$ 中，我们有 $OB = 2$（半径）和 $AB = 2$（数据）。氧 随着 $A$ 围绕正方形移动而变化的是 $r = OA$。从中心到的距离 边正方形 1 的轮廓从 $\frac{1}{2}$（一侧的中点）到 $\frac{\sqrt{2}}{2}$（顶点）：
$$\frac{1}{2} \le r \le \frac{\sqrt{2}}{2}$$2。三角形 $OAB$ 中的余弦定律（$O$ 中的角 $\theta$，与边相反 $AB$）：
$$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos\theta$$$$4 = r^2 + 4 - 4r\cos\theta \quad\Rightarrow\quad \cos\theta = \frac{r}{4}$$（另一种看待它的方式：像 $OB = AB = 2$ 一样，三角形是以 $OA$ 为底的等腰三角形； $B$ 的高度落在 $OA$ 的中点，然后落在 $\cos\theta = \frac{r/2}{2} = \frac{r}{4}$ 的中点。）
**3。最大化角度。**对于 $0 < \theta < 180°$，角度越大， 更小余弦。因此，当 $\cos\theta = \frac{r}{4}$ 为最大时，$\theta$ 最大 最小值，即$r$最小时：$r = \frac{1}{2}$。
$$\cos\theta_{\max} = \frac{1/2}{4} = \frac{1}{8}$$答案：替代A ($\frac{1}{8}$)。
要小心这个技巧：趋势是取点 $A$ 的顶点 方形，“尽可能”。这给出了 $\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{8}$，其中 对应于最小角度。最大角度是最小余弦。
要复习，请参阅任意三角形定理.
问题 38：双根多项式（吉拉德关系）
陈述
假设多项式 $p(x) = x^3 + mx - 2$（其中 $m$ 是实数）有 双实根 $a$ 和单实根 $b$。 $m$与$a$之和的值 是：
- A) 0
- B) $-1$
- C) $-2$
- D) $-3$
- E) $-4$
解决
$p$的根是$a$、$a$和$b$。根据吉拉德的关系 $x^3 + 0x^2 + mx - 2$：
1。根之和（$x^2$的系数为零）：
$$a + a + b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = -2a$$2。根的乘积：
$$a \cdot a \cdot b = -\frac{-2}{1} = 2 \quad\Rightarrow\quad a^2(-2a) = 2 \quad\Rightarrow\quad a^3 = -1 \quad\Rightarrow\quad a = -1$$标志 $b = 2$。
3。二乘二的乘积之和（给出系数 $m$）：
$$m = a \cdot a + a \cdot b + a \cdot b = a^2 + 2ab = 1 + 2(-1)(2) = -3$$检查：$p(x) = x^3 - 3x - 2 = (x+1)^2(x-2)$。 ✓
4。请求的总和： $m + a = -3 + (-1) = -4$。
答案：替代E ($-4$)。
**要小心陷阱：**替代 D ($-3$) 只是 $m$ 的值；这 问题要求 $m + a$。
问题 39：用胶带缠绕四个圆柱形水箱
陈述
如图所示，从上方（平面图）可以看到四个圆柱形储罐。 它们的半径都是 10 米，它们的中心位于两个正方形的顶点 相邻的虚线，一边都是 30 m。绝缘胶带，拉伸并 与地面平行，它围绕着4坦克，完成一个完整的转弯（橙色线 图中）。
胶带的长度（以米为单位）为：
- A) $20\pi + 30(3 + \sqrt{2})$
- B) $20\pi + 30(4 + \sqrt{2})$
- C) $25\pi + 15(4 + \sqrt{2})$
- D) $25\pi + 30(4 + \sqrt{2})$
- E) $25\pi + 30(4 + 2\sqrt{2})$
解决
色带由直线部分（与两个储罐相切）和弧线组成 圆周（接触水箱的地方）。
**1。直线部分。**每个直线部分都平行于连接中心的线段 它所接触的两个水箱的长度，并且与该段的长度相同（ 垂直于胶带的两条射线与其形成一个矩形）。从图中看，胶带 通过 4 中心之外：左侧顶部的一个、底部两个以及左侧中间的一个。 正确的。连续中心之间的线段是：
- left side：正方形的两条边，$30 + 30 = 60$；
- 底面：$30$；
- 右侧（从下到中）：$30$；
- 顶部正方形的对角线：$30\sqrt{2}$。
直线总数：$60 + 30 + 30 + 30\sqrt{2} = 120 + 30\sqrt{2} = 30(4 + \sqrt{2})$。
2. 弓。 在每个水箱中，弧线从一个直线部分延伸到下一个直线部分及其角度 中心等于磁带在该点“转动”的角度。散步 完成，磁带总转数 $360°$。所以这四个弧线组合在一起就形成了 一个 全周长 半径 10：
$$2\pi \cdot 10 = 20\pi$$（检查：转动角度为$90°$、$90°$、$135°$、$45°$，合计为$360°$。）
3。胶带长度。
$$L = 20\pi + 30(4 + \sqrt{2}) \text{ m}$$答案：替代B。
要小心陷阱： 没有必要单独计算每个弧：在 围绕凸形图形的丝带，弧线加起来总是正好一圈 完全的。半径为 10 时，得到 $20\pi$；选项 C、D 和 E 的 $25\pi$ 不 与此相对应。
要查看，请参阅周长.
问题 40：纳米镜 – 微米和纳米之间的比率
陈述
2 月 2021，米纳斯吉拉斯联邦大学的一群物理学家 （UFMG）发表的一篇文章登上了重要杂志自然的封面。文本至 以下内容摘自 UFMG 网站 上有关该文章的报告：
Ado Jorio（UFMG 教授）继续说道，纳米显微镜用 普通光学显微镜。光的焦点是 1 圆的大小 直径为微米。 “纳米显微镜的作用是插入一个纳米天线，它具有 直径为 10 纳米的尖端，在 1 微米的焦点内，并且 扫描此提示。纳米分辨率的图像由此形成 纳米天线扫描过程，定位纳米天线的电磁场 光达到顶峰”，教授说。
Itamar Rigueira Jr. “UFMG 的纳米镜使我们能够了解 使石墨烯超导”。已改编。可在 https://ufmg.br/comunicacao/noticias/. 获取 Gadelha A C 等人 (2021)，自然，590，405-409，doi：10.1038/s41586-021-03252-5。
根据文中提到的数据，光焦点直径与 普通的光学显微镜和纳米天线尖端的直径 纳米显微镜的数量级为：
- A) 0,0001
- B) 0,01
- C) 1
- D) 100
- E) 10000
解决
1。相同单位。 $1 \text{ micrômetro} = 10^{-6}$ m e $1 \text{ nanômetro} = 10^{-9}$米。标志 $1 \text{ µm} = 10^3 \text{ nm} = 1000 \text{ nm}$。
2。请求的原因（焦点 ÷ 提示，按顺序）：
$$\frac{1000 \text{ nm}}{10 \text{ nm}} = 100$$答案：替代D (100)。
要小心陷阱：替代 B (0,01) 是倒置的原因（提示 ÷ 焦点）。语句中单词的顺序定义了分子：“ 焦点直径[…]和尖端直径”。
问题 41：细菌在对数尺度上的生长
陈述
液体中细菌的数量与细菌的数量成正比 该液体的浊度。该图以对数尺度显示了 液体的浊度 $x$ 随时间变化 $t$（以分钟为单位测量），即 显示 $\log_{10} x$ 作为 $t$ 的函数。数据是从 30 的 30 处收集的 分钟，并获得插值曲线以推断中间值。
根据图表，细菌数量从瞬间增加了多少倍 $t_0$ 到即时 $t_1$？
- A) 2
- B) 4
- C) 5
- D) 10
- E) 100
解决
1。阅读图表。 细水平线从 0,1 到 0,1。否 在$t_0$瞬间，标记点位于$\log_{10} x_0 = -1{,}3$；在瞬间$t_1$， 在$\log_{10} x_1 = -0{,}3$中。
**2。对数之差为比。**由商的对数性质：
$$\log_{10} \frac{x_1}{x_0} = \log_{10} x_1 - \log_{10} x_0 = -0{,}3 - (-1{,}3) = 1$$$$\frac{x_1}{x_0} = 10^1 = 10$$**3。从浊度到细菌。**由于细菌的数量直接 与浊度成正比，种群之间的比率相同：种群变成 10 倍 大。
答案：替代D (10)。
请注意问题： 垂直轴上是 $\log_{10} x$，而不是 $x$。爬 该轴上的 1 个单位表示 乘 $x$ 乘 10，并且不加 1 或 “弯曲”。
要查看，请参阅对数的属性.