ENEM 2023 – 已解决的数学：问题 136 到 150

来源： INEP – 证明 和模板 第二天，笔记本 5 – 黄色。

ENEM 数学和技术测试 2023 于第二天进行，并将 从问题 136 到 180。这篇文章解决了问题 136 到 150。此处使用的编号是笔记本 5 – 黄色 的编号；我们 在其他笔记本中，相同的问题以不同的顺序出现。

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问题136：散步用的面包包（比例）

陈述

一些研究证明碳水化合物为身体提供能量， 在活动过程中保留肌肉的结构蛋白 物理学，也赋予大脑协调运动的力量，这实际上 对从业者的发展产生积极的影响。理想的是消耗 1 克 每分钟步行的碳水化合物含量。

CIRINO, C. 好问题：运动前摄入碳水化合物会有所改善 运动员表现？健康杂志！这是至关重要的，n。 330，十一月2010（改编）。

一对夫妇每天步行 30 分钟，在此之前， 活动，推荐的理想碳水化合物量。要有消费 这对夫妇计划只有通过食用全麦面包才能达到理想的效果 保证面包供应持续30天不间断。据了解 该面包的每包都配有 18 片，并且每片都有 15 克 碳水化合物。

提供切片面包包的最小数量 这对夫妇的供应量是

• A) 1.
• B) 4.
• C) 6.
• D) 7.
• E) 8.

解决

**1。必需的碳水化合物。**有 2 个人，每人每天需要 30 克 （1 克每分钟，30 分钟），在 30 天期间：

2。一包碳水化合物。 18 15 g 切片：

3。包裹数量。

6 包（$1620$ 克）缺乏碳水化合物；你必须购买整个套餐， 因此最小值为 7。

答案：替代D（7包）。

要小心陷阱：替代 C (6) 来自将 6,67 舍入为 低，B (4) 来自忘记有两个人 （$900 / 270 \approx 3{,}3$，向上舍入后得到 4）。

要查看，请参阅比例.

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问题 137：桅杆钢缆（三角学）

陈述

在某个地区安装了垂直于地面的旗杆 平坦。由于强风，三根相同长度的钢缆将被 安装用于支撑桅杆。每一根钢索都将完美 拉伸，一端位于桅杆的 $P$ 点，距离地面 $h$ 的高度， 另一端位于地板上的一点，如图所示。

钢缆与地板平面形成角度 $\alpha$。

出于安全原因，只有三个安装选项：

• 选项一：$h = 11$ m 和 $\alpha = 30°$
• 选项 II：$h = 12$ m 和 $\alpha = 45°$
• 选项 III：$h = 18$ m 和 $\alpha = 60°$

要选择的选项是电缆尽可能小的选项。

每条要安装的电缆的尺寸是多少（以米为单位）？

A) $\dfrac{22\sqrt{3}}{3}$

B) $11\sqrt{2}$

C) $12\sqrt{2}$

D) $12\sqrt{3}$

E) $22$

解决

1。直角三角形。 桅杆、地面和电缆形成一个三角形 矩形。手柄是斜边 $L$，高度 $h$ 是边相对 角度 $\alpha$。然后

2。计算每个选项。

• 选项一：$L = \dfrac{11}{\frac{1}{2}} = 22$米；
• 选项二：$L = \dfrac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2} \approx 16{,}97$米；
• 选项三：$L = \dfrac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} \approx 20{,}78$米。

**3。选择最小的。**最小的测量值是选项 II，$12\sqrt{2}$ 米。

答案：替代C ($12\sqrt{2}$ m)。

**要小心陷阱：**最小高度（选项 I，$h = 11$）不给出 较短的电缆：角度较小，电缆较长。选项 E 和 D 是 选项 I 和 III 的电缆。如果我们使用以下命令，则会出现 ($\frac{22\sqrt{3}}{3}$) 选项 I 中用余弦代替正弦：$\frac{11}{\cos 30°} = \frac{22}{\sqrt{3}}$。

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问题138：飞控屏幕比例

陈述

飞行控制器有一个描述飞行器高度的仪器 飞行中的飞机，取决于地面距离。这个地面距离是 在飞行起点到代表航班的点之间水平测量 飞行中飞机位置在地面上的正交投影。这两个量 以相同的测量单位给出。

仪器屏幕按比例显示了实际尺寸 与航班相关的距离。下图为启动后的仪器屏幕 完成了飞机旅行，测量了每个正方形的边长 网格等于 1 厘米。

此屏幕显示最高高度为 5 公里的航班的数据。

该屏幕代表实际测量值的比例是

• A) 1 : 5.
• B) 1 : 11.
• C) 1 : 55.
• D) 1 : 5 000.
• E) 1 : 500 000.

解决

1。图中的测量。 图形的最高部分（水平部分） 位于屏幕上1平方的高度，即1厘米。

2。使用相同单位的实际测量值。 秤比较使用相同单位的测量值：

**3。比例尺。**屏幕上的1厘米对应现实中的500000厘米：

答案：替代E (1 : 500 000)。

要小心陷阱： 替代方案 A (1 : 5) 忘记转换公里 转换为厘米，D (1 : 5 000) 仅转换为米。

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问题 139：热量消耗最高的一天

陈述

一个人从事四种体育活动——步行、跑步、骑行 骑自行车和踢足球——作为他减肥计划的一部分。这些 根据该表每周进行一次活动，该表显示了 每项活动每天的小时数。

她想庆祝她的生日并选择一周中的哪一天来度过它 体力活动摄入的热量最高。为此，考虑 每小时活动的热量消耗值 (cal/h) 是 以下：

庆祝生日的星期几是

• A) 周一。
• B) 星期二。
• C) 周三。
• D) 周四。
• E) 周五。

解决

每天的支出为（活动时数）×（每小时支出）之和。

1。每天计算。

2。选择最大的一项。 最大的开支是在星期三 (1 748 cal)。

答案：替代C（周三）。

**请注意以下问题：**周四的小时数最多 最“昂贵”的活动（跑步），但总体而言您花费较少。第二个 (1 614) 和第六个（1 612）非常接近；你需要仔细算算。

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问题140：购买法律文件的折扣

陈述

每两个月，学校校长就会购买一定数量的纸张 法律论文与注册学生人数成正比。过去两个月， 她购买了 6 000 表格供 1 200 在校学生使用。 这两个月，有部分学生取消了入学，学校现在已经 1 150 学生。主管只能在这次购买上花费 R$ 220,00，并且知道 学校的供应商出售 100 包装的法律文件 每包单位为 R$ 4,00。因此，有必要说服供应商 给学校折扣，以便可以购买全部数量 两个月所需的法律文件。

最终购买价格的必要折扣（百分比）属于 间隔

• A) (5,0 ; 5,5).
• B) (8,0 ; 8,5).
• C) (11,5 ; 12,5).
• D) (19,5 ; 20,5).
• E) (3,5 ; 4,0).

解决

1。每个学生的工作表。 每个学生的 $\dfrac{6\thinspace 000}{1\thinspace 200} = 5$ 页。

2。现在需要纸张。 $1\thinspace 150 \cdot 5 = 5\thinspace 750$ 纸张。

3。包装。 这些纸张以 100 的包装形式提供，您无法购买 半包：$5\thinspace 750 / 100 = 57{,}5$，然后 58 包装。

4。无折扣价格。 $58 \cdot 4 = 232$ 雷亚尔。

5。需要折扣。 价格需要从 232 降至 220，减少 12真实：

其范围为 (5,0 ; 5,5)。

答案：替代A。

要小心陷阱： 使用 57,5 包装 (R$ 230,00) 的人会发现 折扣 $\frac{10}{230} \approx 4{,}35\%$，这在任何 间隔。实际上，只购买整个包裹。

要查看，请参阅增加和折扣.

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问题 141：玛雅历（Tzolkim 和 Haab 年）

陈述

玛雅历法提供两种同时计算的年数，即所谓的年 Tzolkim，由 260 天组成，确定宗教日历和年份 Haab，由 365 天组成，确定农历。一 历史学家发现证据表明同一家族的几代人统治 某个玛雅社区持续 20 个周期，每个周期由 52 形成 哈布年。

可访问：www.suapesquisa.com。访问时间：20 8 月 2014。

根据提供的信息，Tzolkim 已经工作了多少年？ 玛雅社会是由这样的家族统治的吗？

• A) 741
• B) 1 040
• C) 1 460
• D) 2 100
• E) 5 200

解决

1。总 Haab 年。 $20 \cdot 52 = 1\thinspace 040$ Haab 年。

2。转换为天数。 每个 Haab 年有 365 天：

3。转换为 Tzolkim 年（每 260 天）：

（最快：$\frac{1040}{260} = 4$ 和 $4 \cdot 365 = 1\thinspace 460$。）

答案：替代C（1 460 Tzolkim 年）。

要小心陷阱： 替代 B (1 040) 是年数 Haab，而不是 Tzolkim。 A (741) 来自反向转换 ($1\thinspace 040 \cdot \frac{260}{365} \approx 741$)：作为 Tzolkim 的年份 更短，同期为更多 Tzolkim 年。

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问题 142：老师的披萨（毕达哥拉斯）

陈述

令 $a$、$b$ 和 $c$ 为直角三角形边的测量值，其中 $a$ 作为斜边的度量。这些值 $a$、$b$ 和 $c$ 分别是 圆的直径$C_1$、$C_2$和$C_3$，如图所示。

请注意，根据毕达哥拉斯定理，这种构造确保了 面积 ($C_1$) = 面积 ($C_2$) + 面积 ($C_3$)。

一位数学老师熟悉这种结构，并且友好地对待 和两个朋友在一家比萨饼店，那里的比萨饼只以形状出售 圈子发起了一项挑战：即使不使用测量仪器，也可以 确定地说出圆的面积是否对应于他点的披萨 大于、等于或小于两个朋友的披萨面积之和。 于是，点了三个披萨。老师把它们分成两半，组成一个 与披萨直径的三角形，如图所示。

根据角度 $\alpha$ 的测量，教授指出他的面积 比萨饼大于其他两个比萨饼的面积之和。

数学老师的披萨面积大于所有披萨的面积之和 另外两个披萨，因为

• A) $0° < \alpha < 90°$
• B) $\alpha = 90°$
• C) $90° < \alpha < 180°$
• D) $\alpha = 180°$
• E) $180° < \alpha < 360°$

解决

1。面积和直径。直径为 $d$ 的圆有面积 $\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4} d^2$。所以比较面积就是 与比较直径方块相同。

令 $p$ 为老师披萨的直径，$m$、$n$ 为披萨的直径 的朋友。当教师的面积大于其他人的面积之和时

2。对角。 在所形成的三角形中，角 $\alpha$ 位于 侧 $m$ 和 $n$，面向侧 $p$。根据余弦定律：

• 如果 $\alpha = 90°$、$\cos\alpha = 0$ 和 $p^2 = m^2 + n^2$（这是毕达哥拉斯的情况，面积相等）；
• 如果 $\alpha > 90°$、$\cos \alpha < 0$ 和 $p^2 > m^2 + n^2$；
• 如果$\alpha < 90°$、$\cos \alpha > 0$和$p^2 < m^2 + n^2$。

3。角度的极限。 $\alpha$ 是三角形的内角，所以它是 小于 $180°$。

因此，教师区域恰好在 $90° < \alpha < 180°$ 时最大。

答案：替代C。

要小心陷阱： 替代方案 B ($\alpha = 90°$) 是以下情况 带圆圈的图形，给出相等面积，而不是更大。替代方案D 和 E 是不可能的：三角形的内角总是小于 180°。

复习请参见[毕达哥拉斯定理](https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/geoplan/triangulos/teopit/） 和圆圈面积.

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问题 143：赛车经济单元

陈述

在马拉松运动员中，使用的一个参数是跑步经济性（CE）。氧 该参数的值是通过耗氧量之间的比率计算的，单位为 运动员的每分钟 (min) 毫升 (mL) 和体重 (kg) 以恒定速度运行。

可访问：www.treinamentoonline.com.br。访问时间：23 10 月 2019（已修改）。

一位马拉松运动员，在医生的帮助下，旨在提高自己的表现， 以恒定速度测量每分钟的耗氧量。基于 根据该消耗量和运动员的体重，医生计算出运动员的 EC。

EC参数描述的量的计量单位是

A) $\dfrac{\text{min}}{\text{mL} \cdot \text{kg}}$

B) $\dfrac{\text{mL}}{\text{min} \cdot \text{kg}}$

C) $\dfrac{\text{min} \cdot \text{mL}}{\text{kg}}$

D) $\dfrac{\text{min} \cdot \text{kg}}{\text{mL}}$

E) $\dfrac{\text{mL} \cdot \text{kg}}{\text{min}}$

解决

1。耗氧量单位。“毫升每分钟”：mL/min。

2。除以质量 (kg)。 EC 是消耗量与质量之间的比率：

除以公斤就是将分母乘以公斤。

答案：替代B (mL/(min·kg))。

**要小心陷阱：**替代的 E 乘以质量而不是 来划分。请记住：“X 和 Y 之间的比率”是 $X \div Y$。

如需查看，请参阅费用.

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问题 144：何时停止生产产品 II

陈述

一家工厂的经理想要比较两个工厂的销售变化 类似产品（I 和 II）。为此，他开始检查单位数量 这些产品每月的销售量。这样做的结果 表格中列出了 4 月至 6 月的核查情况。

经理决定下个月停止生产产品II 产品 I 的销售额超过产品 II 的销售额。

假设产品 I 和 II 的销售数量变化为 如表中所示，按月进行维护。

产品II是在哪个月停止生产的？

• A) 六月。
• B) 七月。
• C) 八月。
• D) 九月。
• E) 十月。

解决

1。每月变化。 产品 I 每月增加 10 件，产品 II 增加 每月减少 20 个单位（两个算术级数）。

2。继续表。

3。 I 超过 II 的第一个月。 7 月我们仍然有 $110 < 130$；在 八月，$120 > 110$。因此，8 月份 I 的销量超过了 II。

4。下个月。 II 的生产将于下个月停止：九月。

答案：替代D（九月）。

要小心陷阱： 替代 C（八月）是我所在的月份 超过II；该声明要求提供下一个月的数据。

要回顾，请参阅[算术级数]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/natuais/progressao/progressao-aritimetica/).

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问题 145：出行的平均值、中位数和模式

陈述

某运输公司定期调查出行次数 白天由您注册的所有 160 司机执行 应用程序。在某一天，使用图表生成了一份报告 酒吧，其中司机的数量与数量相关 旅行弥补了当天的那一刻。

比较分布的均值、中位数和众数 在该公司注册的司机的出行次数， 你得到

• A) 中位数 = 均值 < 众数。
• B) 中位数 = 众数 < 均值。
• C) 中位数 < 均值 < 众数。
• **D)**众数<均值<中位数。
• **E)**众数<中位数<均值。

解决

**1。阅读图表。**每个条形图都会告诉您有多少司机达到了这个数字 旅行：

总数：$10 + 10 + 55 + 25 + 0 + 50 + 10 = 160$ 个驱动程序，如声明所述。

2。时尚。 司机最多的价值是 3 次（55 司机）。

3。中位数。 对于 160 数据，中位数是第 80 个和第 81 个值的平均值 （按顺序）。累计：至1行程，10；至 2、20；至 3、75；至 4、100。 第 80 次和第 81 次属于 4 次行程组，因此中位数为 4。

4。平均。

5。比较。$3 < 4 < 4{,}16$，即众数<中位数<均值。

答案：替代E。

**请注意问题：**在图表中，行程数位于轴上 垂直和水平方向的驱动器数量。谁改变了 论文（将 10、55、25…视为数据）得出错误的比较。

要查看，请参阅位置测量.

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问题 146：充满水箱的水流

陈述

照片显示了用于蓄水的蓄水池的建造情况。 像这样的水箱，采用直圆柱体形式，面积为 3 平方米， 基地，由恒定流量的水道供水。你的主人 记录期间水箱内的水位高度 根据表格，同一天的不同时间供应。

供应该水的水道的流量是多少（立方米每小时） 水箱？

• A) 0,3
• B) 0,5
• C) 0,9
• D) 1,8
• E) 2,7

解决

**1。电平上升速度。**在6:00和8:00（2小时）之间电平上升 $1{,}1 - 0{,}5 = 0{,}6$ 米，即 $0{,}3$ 米每小时。检查他人 范围：$\frac{2{,}3 - 1{,}1}{4} = 0{,}3$ 和 $\frac{3{,}2 - 2{,}3}{3} = 0{,}3$。

2。每小时体积。 在圆柱体中，体积 = 底面积 × 高度。每个 进入时间

答案：替代C (0,9 m3/h)。

要小心陷阱： 替代方案 A (0,3) 是物体的上升速度 液位（以米/小时为单位），而不是流速。剩下的就是乘以底面积。

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问题147：以相同角度传球给球员（有弧线能力）

陈述

在数字游戏的某个时刻，屏幕会显示游戏中所代表的图像。 图。点$Q_1$代表持球球员的位置， 点$Q_2$、$Q_3$、$Q_4$、$Q_5$和$Q_6$也表示玩家位置 同一队，点$A$和$B$表示最近球门柱的两英尺 其中。在所描绘的比赛时刻，球员 $Q_1$ 拥有球权，这 将被传递给位置 $Q_n$ 的其他玩家之一， $n \in \lbrace 2, 3, 4, 5, 6 \rbrace$，其角度 $A\widehat{Q_n}B$ 有 与角度 $\alpha = A\widehat{Q_1}B$ 相同的测量值。

哪名球员将接球？

• A) $Q_2$
• B) $Q_3$
• C) $Q_4$
• D) $Q_5$
• E) $Q_6$

解决

1。可圆弧。穿过同一圆弧上的所有点 通过 $A$ 和 $B$ 从相同角度“查看”线段 $AB$。这来自 内切角定理：确定同一弧的内切角$AB$ 具有相同的尺寸（弧的一半）。

2。求 $Q_1$ 的周长。 的虚线周长 数字都经过$A$和$B$。经过$Q_1$之后，我们看到 它还穿过$Q_3$（与$AB$同一侧）。

3。其他玩家。 $Q_2$ 和 $Q_4$ 的圆周较小 （离光束较近，从更大的角度看$AB$）； $Q_5$ 和 $Q_6$ 位于 更大的圆周（参见较小角度的 $AB$）。

因此，角度$A\widehat{Q_3}B$等于$\alpha$。

答案：替代B ($Q_3$)。

请注意问题：$Q_2$ 与 $A$ 和 $Q_1$ 在同一条直线上， 这可能会产生误导，但对齐并不能保证角度相同。什么 重要的是位于经过 $A$、$B$ 和 $Q_1$ 的同一个圆上。

要查看，请参阅[内切角]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/geoplan/livro/cap11-angulos-na-circunferencia/).

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问题 148：神奇三角形

陈述

图中的三角形被称为魔幻三角形。在圆圈里写下 从1到6的数字，不重复，每个圆圈中有一个数字。目标是 分配数字，使得每边的数字之和 三角形相等。

考虑放置在三角形顶点处的数字是 等差数列的比率等于 2。

在所提出的条件下，数字之和的可能解是什么 三角形的三条边是什么形状？

• A) 只有一种可能的解决方案，并且三角形每条边的总和都等于 7。
• B) 只有一种可能的解决方案，三角形每条边的总和都等于 9。
• C) 只有两种可能的解决方案，一种是三角形每边的总和等于 7，另一种是三角形每边的总和等于 9。
• D) 只有两种可能的解决方案，一种是三角形每边的总和等于 9，另一种是三角形每边的总和等于 12。
• E) 只有两种可能的解决方案，一种是三角形每边的总和等于 10，另一种是三角形每边的总和等于 11。

解决

1。可能的顶点。 PA 中从 1 到 6 的三个数字，比率为 2： $\lbrace 1, 3, 5 \rbrace$ 或 $\lbrace 2, 4, 6 \rbrace$。没有其他选择 （从 3 开始，第三项将为 7）。

2。每边之和。 将三边相加，每个顶点算二 次（分属于两侧），中间数各一次。如何 $1 + 2 + \dots + 6 = 21$，如果 $V$ 是顶点之和，$S$ 是每条边的和：

• 顶点 $1, 3, 5$：$V = 9$，然后 $3S = 30$ 和 $S = 10$；
• 顶点 $2, 4, 6$：$V = 12$，然后是 $3S = 33$ 和 $S = 11$。

3。检查每个案例是否有效。

• $S = 10$：1和3之间是$10 - 4 = 6$； 3和5之间是$10 - 8 = 2$； 1和5之间是$10 - 6 = 4$。使用2、4、6。 ✔
• $S = 11$：2和4之间是$11 - 6 = 5$； 4和6之间是$11 - 10 = 1$； 2和6之间是$11 - 8 = 3$。使用1、3、5。 ✔

有两个解，总和为 10 和 11。

答案：替代E。

要回顾，请参阅[算术级数]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/natuais/progressao/progressao-aritimetica/).

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问题 149：房间抽牌（概率）

陈述

在大学住宿中，有些房间的标准比 其他人的。其中一间房间可供使用，许多学生 申请住在那里。要选择谁将获得房间， 将举行抽奖。对于本次抽奖，单张卡片的名称为 所有注册学生将被存入投票箱，并且， 每个一年级学生都会有一张写有自己名字的卡片； 每位二年级学生有两张写有名字的卡片；并且，对于每个 三年级学生，三张写有他名字的卡片。 200 已注册 一年级、150 二年级和 100 三年级学生。全部 抽牌的概率相同。

抽奖的获胜者是三年级学生的概率是多少？

• A) $\frac{1}{2}$
• B) $\frac{1}{3}$
• C) $\frac{1}{8}$
• D) $\frac{2}{9}$
• E) $\frac{3}{8}$

解决

等概率的是卡片，而不是学生。所以我们算 卡片。

1。每年的卡片。

• 第一年：$200 \cdot 1 = 200$ 张卡；
• 第二年：$150 \cdot 2 = 300$ 张卡；
• 第三年：$100 \cdot 3 = 300$ 张卡片。

总数：$800$ 张卡。

2。概率。

答案：替代E ($\frac{3}{8}$)。

**要小心这个技巧：**计算学生而不是卡片可以得到 $\frac{100}{450} = \frac{2}{9}$，替代方案 D。

要回顾，请参阅[概率导论]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/real/prob/introprob/).

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问题150：水库配水

陈述

某村庄75户居民的用水来自水库。 直圆柱体形状，其底半径始终为 5 米 每月第一天由油罐车供应。这里的每一位居民 村庄平均每天消耗 200 升水。

某年六月，村里庆祝守护神节。 前 20 天额外用水。在此期间之后， 人们检查了水库中的水量，发现 水柱高度为 1,5 米。然后他们决定做一个 在接下来的几天10期间实行配水。将 3 视为近似值 至 $\pi$。

每个居民平均需要的最低用水量是多少（升） 每天保存一次，这样水库下次就不会缺水了 10 天？

• A) 50
• B) 60
• C) 80
• D) 140
• E) 150

解决

1。剩余水量。 半径为 5 m、高度为 1,5 m 的圆柱体的体积：

(1 m³ = 1 000 L.)

2。每个居民每天可以花多少钱。 水需要持续 10 天 对于 75 人：

**3。经济。**每个人消耗了 200 L，现在可以使用 150 L：

答案：替代A（50升）。

要小心陷阱： 替代方案 E (150) 是每个居民的费用 仍然可以消耗，而不是应该节省多少。

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