Euler's Eyes
2026-10-13
莱布尼茨对牛顿的点：能动的记号与贫瘠的记号
1675 年 10 月 29 日，在巴黎，莱布尼茨正在把一条曲线下面无穷多的细条加起来，他厌倦了在每个和式前面写 omnia（“全部”）。他在笔记本上记下：
Utile erit scribi ∫ pro omnia.（用 ∫ 代替“全部”来写，将会很有用。）
— 莱布尼茨，1675 年 10 月 29 日的手稿
$\int$ 是一个拉长的 S，取自 summa（和）。两周后，在同一本笔记里，出现了 $d$，取自 differentia（差），表示无穷小的差。有了这两个符号，莱布尼茨手里就有了一套表达整个微积分的语言。艾萨克·牛顿早在十年前就在剑桥得到了同样的思想，但写法不同。要看一个符号的形状如何改变人们能用它做的事，这是历史上最好的例子。
同一个想法的两种写法
牛顿想的是随时间流动的量，比如运动物体的位置。他把这个量叫作流量，把它的变化率叫作流数，并开始在字母上方加一个点来标记流数：如果流量是 $x$，流数就是 $\dot{x}$；流数的流数是 $\ddot{x}$。
莱布尼茨想的是相邻两个值之间极小的差。$x$ 的差是 $dx$，$y$ 的差是 $dy$，变化率就是两者之比 $\dfrac{dy}{dx}$。并排来看：
| 想表达的意思 | 牛顿 | 莱布尼茨 |
|---|---|---|
| $y$ 的变化率 | $\dot y$ | $\dfrac{dy}{dx}$ |
| 相对于什么？ | 时间（隐含） | $x$（写明） |
| 二阶导数 | $\ddot y$ | $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ |
| 细条之和 | 没有固定符号 | $\displaystyle\int y\,dx$ |
| 链式法则 | 记住法则 | $\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dz}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}$ |
牛顿的点更短。但请注意它隐藏了什么：对哪个变量求导。对牛顿来说，那总是时间，这在他的物理学里是对的。当一个量依赖的不是时间，或者同时依赖好几个量时，点就没有地方说明这一点了。
符号背后的词语
这门微积分的名称里也藏着图像。导数（derivative）来自拉丁文 derivare，由 de（从）和 rivus（溪流）组成：把河水引到一条渠里。导数就是从函数里“流出来”的东西。切线（tangent）来自 tangere（触碰）：它是只在一点碰到曲线的直线。莱布尼茨的 differentia 来自 differre（分开、带往不同方向）：它是两个相邻值之间的小距离。而牛顿的流数（fluxion），字面意思就是流动、流动的东西。1704 年，在《曲线求积论》中，牛顿这样宣布了他的点：
设 x、y、z 为流量；它们的流数将用这些记号表示：ẋ、ẏ、ż。
— 艾萨克·牛顿，《曲线求积论》（1704）
在牛顿和莱布尼茨之后，其他作者也创造了自己的写法，每一种都让同一个想法的不同侧面显现出来：
| 作者 | 写法 | 它显示了什么 | 它隐藏了什么 |
|---|---|---|---|
| 牛顿（1690 年代） | $\dot y$ | 随时间的变化 | 变量 |
| 莱布尼茨（1675） | $\dfrac{dy}{dx}$ | 变化之比；链式法则 | 它并不是普通的分数 |
| 拉格朗日（1797） | $f'(x)$ | 导数是另一个函数 | 对哪个变量求导 |
| 阿博加斯特（1800） | $Df$ | 求导是对函数的一种运算 | 点和变量 |
没有一种独自胜出。今天，同一本书用 $f'(x)$ 谈论导函数，用 $\frac{dy}{dx}$ 做链式法则的计算，用 $\dot x$ 表示速度。懂得根据问题切换写法，也是懂微积分的一部分。
会自己做计算的记号
莱布尼茨选择了表现得像分数的符号。它们并不是真正的分数（$dy$ 和 $dx$ 的严格意义直到十九世纪才借助极限澄清），但这种书写的设计，使得分数的运算在应当成立的情形下给出正确的结果。链式法则是经典的例子：$\dfrac{dz}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}$“约掉”了 $dy$，得到 $\dfrac{dz}{dx}$。法则就画在符号本身的形状里。
看一个本站早期文章用过的例子。要对 $f=(x^5-2x)^{\pi}$ 求导，把括号里的部分叫作 $u$：
$$u=x^5-2x,\qquad f=u^{\pi}.$$于是
$$\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\pi\,u^{\pi-1}\cdot(5x^4-2)=\pi\,(x^5-2x)^{\pi-1}(5x^4-2).$$用莱布尼茨记号书写的人，不需要记住要乘以里面那部分的导数。书写本身要求这一点：还缺一个 $du$ 来约掉，唯一的办法就是写出 $\frac{du}{dx}$。要用具体的数近距离看看这个分数游戏，请看莱布尼茨的记号一章。
这就是我们从第一篇文章起所说的能动的记号。莱布尼茨很清楚自己在做什么：
在符号中可以看到一种有利于发现的长处，当符号简洁地表达出事物的确切本质、仿佛把它描画出来时，这种长处最大；那时，思考的劳动确实奇妙地减少了。
— 莱布尼茨致契恩豪斯的信（1678）
积分里的 $dx$ 也是一样。它看起来像个装饰，其实在干活。要计算 $\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx$，令 $u=x^2+1$。于是 $\frac{du}{dx}=2x$，莱布尼茨的书写邀请你“把 $dx$ 移到另一边”：$du=2x\,dx$。积分就变成
$$\int u^3\,du=\frac{u^4}{4}+C=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C.$$这就是换元积分法，它又一次画在了书写之中。
困在点里的英国
在谁先发明微积分的激烈争论之后，英国数学家抱成一团：出于忠诚，他们要用牛顿的点。欧洲大陆用莱布尼茨的 $d$。整个十八世纪，分析学几乎所有的重大进展都来自大陆：伯努利家族、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯。英国人用着一种什么也提示不了的记号，落后了一百多年。本站早期的文章这样总结：牛顿的记号是贫瘠的。
说牛顿的点已经死了，并不公平。在物理学中，当变量是时间时，它简短清楚，至今人们仍用 $\dot x$ 表示速度，用 $\ddot x$ 表示加速度。点作为整个微积分的语言是贫瘠的，作为某个特殊情形的缩写则不是。顺便说一句，这是一个很好的判别标准：一种记号被带到新问题中仍然管用时，它就是能动的。
练习：莱布尼茨写法下的链式法则
对 $z=(3x^2+1)^4$ 求导。令 $y=3x^2+1$，则 $z=y^4$，于是
$$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=4y^3\cdot6x=24x\,(3x^2+1)^3.$$练习：点不够用的时候
一个物体运动时，位置 $x$ 依赖于时间，而量 $y=x^2$ 依赖于位置。如果在所考虑的时刻 $x=3$、$\dot x=2$，那么 $\dot y$ 是多少？
用莱布尼茨的写法：$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}=2x\cdot\dot x=2\cdot3\cdot2=12$。牛顿的写法给出同样的数 $\dot y=2x\dot x$，但要得到它，必须事先知道这条法则。莱布尼茨的写法显示了它为什么成立，还能让人写出 $\dfrac{dy}{dx}=2x$，即相对于位置的变化率，这是点无法命名的。