官方材料： 完整证明 · OBMEP解决方案 · 年度精选。

以下分辨率遵循官方笔记本的编号。打开测试，遵循陈述、替代方案和图表；这里的解释是版权。在检查答案之前尝试每个问题。

模板

问题 答案
1–5 E · B · A · E · C
6–10 E · A · B · E · C
11–15 C · B · B · E · D
16–20 B · D · E · C · C

问题 1 — 引脚

左下角和右下角的纸张必须保留各自的销钉：没有其他销钉固定它们。还需要在左上角和右上角至少保留一根图钉。所以十个中至少还剩下四个。在这两个上面的纸张上选择也可以固定中间重叠纸张的销钉。此选择使用四个引脚支持六张纸。我们可以删除**$10-4=6$ — E**。

问题 2 — 重叠的卡片

他凌驾于所有人之上； A 位于它的正下方和 B 的上方。B 依次覆盖两张初始牌 C 和 D。部分顺序是 $(C,D)$、B、A、E，并且可以交换前两张。第三个是B — 替代方案B。

问题 3 — 披萨

将 $k$ 披萨切成八片，其他 $5-k$ 则切成六片。总数为 $30+2k$，取 30、32、34、36、38 或 40。只有 36 是 9 的倍数，为每个朋友提供四片 - A。

问题 4 — 主板

每块棋盘使用 $7\cdot17=119$ 个棋子。与 $2023=7\cdot17^2$ 一样，除以 119 会得到 17 板 — E。每块的面积为$1\text{ cm}^2$，因此计数与覆盖的面积一致。

问题 5 — 隔日阅读

21 页面对应三个时段：周五、周日和周二。每个会话有七页。 105页书需要15个会话；第一个和最后一个之间有 14 两天的间隔，或 28 天。周五过去四个星期后，又是周五 — C。

问题 6 — 蓝色立方体

数一下至少有一个白色面的立方体：有九个，而且没有一个是完全蓝色的。在堆叠中的 14 立方体中，其他五个可以具有隐藏的蓝色面，而不与设计相矛盾。 答案：五 — E。

问题 7 — 正方形面积之比

画出大正方形的对角线AC、小正方形的对角线以及边三角形底边的垂线。使用图中所示的相等线段，将大正方形的一半分成与 XBY 全等的九个三角形。整个正方形有18个三角形单元，最小的有四个。所以，

$$\frac{A_{\text{menor}}}{A_{\text{maior}}}=\frac4{18}=\boxed{\frac29}.$$

替代方案 A. 仅比较不同方向绘制的边并不能提供面积之间的比率。

问题 8 — 摩天轮

直径相对的点的高度的平均值是中心的高度。因此，即使车轮旋转，高度之和也保持恒定。最初总和为 $3+5=8$ m。当玛丽为 7 m 时，保罗为 $8-7=1$ m — B。

问题 9 — 网格上的区域

如果每个正方形都有一条边$l$，则将黄色区域分成由图形顶点指示的两个三角形。在网格上测量的它们的底边和高度给出了面积 $(2l)(3l)/2=3l^2$ 和 $(2l)(2l)/2=2l^2$。然后是 $5l^2=30$，从这里 $l^2=6\text{ cm}^2$ — E。

问题 10 — 乘积和逆

未知数倒数的三个乘积是 2、3 和 6。要获得倒数的平方，请将包含该倒数的两个乘积相乘，然后除以第三个。这三个正方形按某种顺序是：

$$\frac{2\cdot3}{6}=1,\qquad\frac{2\cdot6}{3}=4,\qquad\frac{3\cdot6}{2}=9.$$

请求的总和值 $1+4+9=14$ — C。此过程不需要寻找未知数的迹象。

问题 11 — 三位数的整除性

写入$\overline{ABC}=10\overline{AB}+C$。除以$\overline{AB}$时，剩余部分为$C/\overline{AB}$。与$0\le C\le9<\overline{AB}$一样，只有$C=0$时才可以是整数。对于 A 有九个非零选择；对于 B，八个，不包括零和 A。总计：$9\cdot8=72$ — C。

问题 12 — 和与积

与$2048=2^{11}$一样，这四个正整数是2的幂。和67是奇数，因此有一项或三项等于1。如果是三个，则仍保留 64，但乘积将是 64。只要有一个1，其他三个幂加起来就是66：它们一定是32、32和2，因为如果它们都达到最大16，总和就达不到66；项 64 会留下两个偶数正数加上 2，这是不可能的。该产品是$32\cdot32\cdot2\cdot1=2048$。三者中最小的和是**$32+2+1=35$ — B**。

问题 13 — 时代与谎言

8 岁的孩子需要做出虚假陈述。这三个句子中，只有“这不是8”对她来说是假的。其他人说的是实话：谁否认拥有9，谁就有7，谁否认拥有7，谁就拥有9。最年长和最年轻的是 B 中所示的那些。

问题 14 — 网格中的路径

在两个突出显示的极值点处，每个点有一条路径。对于每个内部点，有六种方法可以到达那里，也有六种方法可以到达B。由于向上和向右的路径不能经过其中两个点，因此不会重复计算。总计为 $1+1+6^2+6^2=74$ — E。

问题 15 — 形成盒子的卡片

$h$ 表示盒子的高度，$b,c$ 表示底座的侧面。我们有 $hb=28$、$hc=24$ 和 $hbc=168$。因此 $c=168/28=6$、$h=24/6=4$ 和 $b=28/4=7$。在切割之前，卡片的尺寸为 $(b+2h)\times(c+2h)$，即 $15\times14$。其面积为**$210\text{ cm}^2$ — D**。

问题 16 — 菱形

每个菱形都是两个相邻小三角形的并集。存在三种可能的方向。在一个方向上，计数范围：$4+3+2+1=10$。大三角形的旋转将这个方向带到其他两个三角形中的每一个，而不改变计数。然后是**$3\cdot10=30$ — B**。

问题 17 — 不同年龄

如果最大年龄最多为 15，则十个不同整数年龄的最大总和将为 $6+7+\cdots+15=105$，这是不够的。因此玛丽安娜至少有16。此限制可通过 $6,7,8,9,10,12,13,14,15,16$ 实现，其总和为 110。因此，最小值为 16 年 — D。

问题 18 — 名称和颜色

蓝衣女孩不是爱丽丝、克劳迪娅或丹妮拉；而是她。所以是比阿特丽斯。根据第二条信息，克劳迪娅不穿黑色或红色的衣服，她也不穿蓝色的衣服：她穿白色的衣服。在圆圈中，比阿特丽斯站在克劳迪娅和丹妮拉之间。黑衣女孩需要位于红衣女孩和克劳迪娅之间，所以不能是比阿特丽斯的邻居丹妮拉。我们得出结论：爱丽丝穿黑色，比阿特丽斯穿蓝色，克劳迪娅穿白色，丹妮拉穿红色 - E。

问题 19 — 避免求和 86

从10到76，形成33对$(10,76),(11,75),\ldots,(42,44)$。我们最多可以选择每对中的一个。 43可以输入，相同号码不重复；从 77 到 99 的所有 23 号码也可以。限制为 $33+1+23=57$，通过选择 43 到 99 中的所有数字即可达到。 响应：57 — C.

问题20——恒星的面积

分解图形时，使用菱形ABCD：对角线BD将其分成两个面积相同的三角形。此外，三角形 PBC 和 QCD 沿正五边形的边全等。蓝色和白色部分各有三个第一类型三角形和一个第二类型三角形。面积相等；蓝色分数是 $1/2$ — C。

返回年份 2023·【图书索引】(https://www.eulereyes.com/cn/posts/obmep/).