OBMEP 2019 - 第二阶段

在这篇文章中，我们将通过评论解决 OBMEP 2019 问题。

问题 1

马塞洛将五个戒指扔到木桩上，一次一个。当戒指击中瓶瓶时，他将获得积分，如下表所示。当戒指没有击中瓶瓶时，他不会得到任何分数。图中显示了马塞洛的五次投掷，其中只有蓝色和绿色环击中了旗柱。请注意，绿色环是最后抛出的，因为它位于其他环之上

发布号	点数
1º	10
2º	5
3º	3
4º	1
5º	1

Q1 项目a

a) 马塞洛通过上图所示的五次投掷得了多少分？

第一次投掷：出 $\rightarrow$ 0 点。
第二次投掷：击中 $\rightarrow$ 5 点
第三次投掷：出 $\rightarrow$ 0 点。
第四次投掷：出$\rightarrow$0点。
第五次投掷：击中 $\rightarrow$ 1 点。

$$ \text{Total} = 5+1=6 \text{pontos}$$

Q1 项目 b

b) 在另外五次投掷中，马塞洛仅投丢了其中一次，并获得了 17 分。他错过了多少次投球？

发布号	点数
1º	$10$
2º	$5$
3º	$\cancel{3}$
4º	$1$
5º	$1$

第三次抛出错误，因为 $10+5+1+1=17$ 点。

Q1 项目 c

c) 下图显示了马塞洛进行的其他五次发射的样子。如果扔出的第三个环是红色的，那么他从这些投掷中可以获得的最高分数是多少？

第三次红球：出 $\rightarrow$ - 3 分。
第 2 次黑掷：红棋前出 $\rightarrow$ - 5 分。
最高分数：第一次成功发射 $\rightarrow$ + 10 分。
最小盈余：第 5 次抛出 $\rightarrow$ -1 点。
剩余命中：第 4 次投掷命中 $\rightarrow$ +1 点。

$$ \text{Total} = 10+1=11 \text{pontos}$$

问题 2

Roberta 有两张牌，一张牌的编号为 1 至 15，另一张牌的牌号为 16 至 30。她从每张卡片中选择一个数字并计算它们的总和。

Q2 项目 A

a) Roberta 有哪些可能的选择来获得总和 18？

sum 18 的选择是：

$1+17=18$
$2+16=18$

Q2 项目 B

b) 如果 Roberta 做出所有可能的选择，她能得到多少种不同的结果？

类型	和	结果
最大金额	$1+16$	$17$
最小总和	$15+30$	$45$

这样，可能的选择集合就是17和45之间的自然数。

$$\text{escolhas} = \\{17, 18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45\\}$$

为避免计算错误，请参阅：

如果结果为 17 至 18： $$\text{resultado}=(18-17) + 1 = 2\text{ possibilidades}$$
如果结果为 17 至 20： $$\text{resultado}=(20-17) + 1 = 4\text{ possibilidades}$$

可能性的数量是：

$$\text{possibilidades} = \text{diferença}+1 = (45-17) +1 = 29$$

因此，可能性的数量是$29.$

Q2 项目 C

c) 如果罗伯塔做出所有可能的选择，哪个结果最常出现？为什么？

最常出现的数字是总和的平均值。

$$\text{média} =\dfrac{\text{soma} }{\text{número de termos} }$$

还记得高斯吗？在 5 岁时，他找到了算术级数的项之和。作为？老师让学生从 1 到 100 相加。高斯在 1 分钟处计算得出。

将数字按升序和降序排列。

$$ \begin{cases} \begin{array}{llll} \text{soma}\\ 1 & 2 & \dots & 100\\ 100 & 99 & \dots & 1\\ --&--&--&--\\ 101 & 101 & 101 & 101\\ \end{array} \end{cases} $$
但是101出现了100次并且被添加了两次。 $$\text{soma} = \dfrac{101~.~100}{2}=5050$$

现在，让我们回到该项目。

$$\text{soma} = \dfrac{(17+45)~.~29}{2}=\dfrac{62 ~.~29}{2} = 31~.~29$$

平均计算：

$$\text{média} =\dfrac{\text{soma} }{\text{número de termos} } = \dfrac{31~.~\cancel{29} }{\cancel{29} }=31$$

这个事实是由大数定律决定的，但让我们从视觉上看一下。

行/列	$1$	$2$	$3$	$\dots$	$15$
$16$	$1+16$	$2+16$	$3+16$	$\dots$	$\color{red}{15+16}$
$17$	$1+17$	$2+17$	$3+17$	$\dots$	$15+17$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\dots$	$\vdots$
$28$	$1+28$	$2+28$	$\color{red}{3+28}$	$\dots$	$15+28$
$29$	$1+29$	$\color{red}{2+29}$	$3+17$	$\dots$	$15+29$
$30$	$\color{red}{1+30}$	$2+17$	$3+17$	$\dots$	$15+30$

问题 3

保利尼奥有五种不同形状的作品（立方体、金字塔、球体、圆柱体和圆锥体）。具有相同形状的零件具有相同的重量（质量）。他将一些棋子放在天平上，观察下面两种情况的平衡。

Q3 项目 A

a) 指出下图是否代表正确或错误的情况。

右
错误的

没错，因为他们需要圆锥体的质量大于两个物体（金字塔+圆柱体）的质量

右
错误的

没错，因为他们需要球体的质量大于两个物体（立方体+圆柱体）的质量

Q3 项目 B

b) 下图中哪一个代表了正确的情况？

只有 C 是正确的，因为：

圆锥体等于（金字塔 + 圆锥体）
右侧：（金字塔+圆柱+立方体）
球体相等（立方体+圆柱体）
左侧：（金字塔+圆柱体+立方体）

Q3 项目 C

c) 在一些已知的重量下，保利尼奥观察到了下面的平衡情况。正方体、金字塔、球体、圆柱体和圆锥体的总重量是多少？

根据假设我们有：

$$\text{2 pirâmides + 2 esferas + 1 cone } = 5+10+15 = 30 \text{ gramas} $$

只需更改：

1 球体由 1 立方体 + 1 圆柱体组成
1 圆柱体 + 1 金字塔形 1 圆锥体
结果 1 球体 + 1 棱锥体 + 1 圆锥体 + 1 立方体 + 1 圆柱体等于 30 克。

问题 4

图中，正方形的边长为 1 厘米。四个蓝色三角形是相同的，两个较小的黄色三角形也是相同的。四个最大的黄色三角形的底边等于正方形的边，相对于该底边的高度等于 1 厘米，并且它们的其他两条边具有相同的尺寸。粉色四边形的两条边与正方形的边平行。图中，正方形的边长为 1 厘米。四个蓝色三角形是相同的，两个较小的黄色三角形也是相同的。四个最大的黄色三角形的底边等于正方形的边，相对于该底边的高度等于 1 厘米，并且它们的其他两条边具有相同的尺寸。粉红色四边形的两条边与正方形的边平行