OBMEP 2018 - 第二阶段

在这篇文章中，我们将通过评论解决 OBMEP 2018 问题。

问题 1

一台疯狂的机器将两个水果变成一个水果，如下：

把两个苹果变成一个橙子；
将两个橙子变成一个橙子；
将一个苹果和一个橙子变成一个苹果。

Q1 项目a

a) 机器需要使用多少次才能将三个苹果变成一个苹果？

数据： 最初我们有 3 个苹果。

步骤 1

我们把两个苹果放进机器里
把它变成一个橙子。
最终结果：
- 1 苹果和 1 橙子。

步骤 2

我们把：
- 一个苹果；
- 一个橙子。
结果：一个苹果。

答：机器必须使用两次。

Q1 项目 b

b) 解释如何使用这台机器几次将三个苹果和四个橙子变成一个苹果。

步骤 1	步骤 2	步骤 3	步骤 4

步骤1：

2橙子变成1橙子；
2橙子变成1橙子；
还剩 2 个橙子；

步骤2：

2苹果变成1橙子和1苹果；
1 苹果什么也没做；
剩下 1 橙子和 1 苹果；

步骤3：

步骤 1 剩余的内容：
- 2橙子变成1橙子；
1 苹果什么也没做；
1 橙色不执行任何操作；

步骤4：

步骤 3 剩余的内容：
- 3 橙子和 1 苹果；
  - 2橙子变成1橙子；
1橙子和1苹果变成1苹果；

因此，还剩下1个苹果。

Q1 项目 c

c) 从2018个橙子和517个苹果开始，重复使用机器，直到只剩下一个水果。解释为什么这种水果只能是苹果。

这是一个关于符号规则的练习。

是

$m=$苹果$=-1$和
$l=$橙色$=+1$

项的乘法	$$\Rightarrow$$	符号规则
$$(+1) \times (+1) \quad = \quad + (1)$$	$$\Rightarrow$$	$$(+)\quad \times \quad (+) \quad = \quad (+) $$
$$(+1) \times (-1) \quad = \quad - (1)$$	$$\Rightarrow$$	$$(+)\quad \times \quad (-) \quad = \quad (-) $$
$$(-1) \times (+1) \quad = \quad - (1)$$	$$\Rightarrow$$	$$(-)\quad \times \quad (+) \quad = \quad (-) $$
$$(-1) \times (-1) \quad = \quad + (1)$$	$$\Rightarrow$$	$$(-)\quad \times \quad (-) \quad = \quad (+) $$

有了这个，我们就有了算法：

步骤 1（橙色）：

$$\underbrace{(+1)\times \dots (+1)}_{2018 \times } = (+1)^{2018} = (+1)~ \text{(que é laranja)}$$

步骤 2（苹果）：
- 517 奇怪的苹果 $= (-1)^{516} \times (-1) $
- 516苹果（机器）和1苹果（剩余）

$$\underbrace{(-1)\times \dots (-1)}_{516 \times } = (-1)^{516} = (+1)~ \text{(que é laranja)}$$

步骤 3（苹果、橙子）

$$(+1)\times \underbrace{(-1)\times (+1) }_{-1 ~ \text{(que é laranja) passo 2} } = (+1)\times (-1) = (- 1)~ \text{(que é maçã)}$$

问题 2

若昂西尼奥买了一本专辑，其中必须贴有编号的贴纸按升序粘贴，从页 2 开始，结束于页 61。在偶数页上必须粘贴 5 贴纸，在奇数页上必须粘贴 6 贴纸。

Q2 项目a

a) 相册上总共应粘贴多少张贴纸？

专辑的偶数页由集合给出：

$$\text{par} = \\{2,4,6, \dots, 60\\}$$

$$\text{ímpar} = \\{3,5,7, \dots, 61\\}$$

在每个偶数页上都有一个奇数页。这样，只需计算偶数页的数量：

$$\text{páginas} = \dfrac{60}{2}=30$$

对于胶粘贴纸，我们有：

$$\text{página par} = 30 \text{ páginas }\times 5 \text{ figurinhas} = 150 \text{ figurinhas}$$$$\text{página ímpar} =30 \text{ páginas }\times 6 \text{ figurinhas} = 180 \text{ figurinhas}$$

因此，总共是$150+180=330$张贴纸。

Q2 项目b

b) 贴纸编号 196 应该粘贴在哪一页？

在每组两个页面中，我们有：

一对 5 贴纸
奇数 6 贴纸
总共 11 张贴纸

现在让我们应用页面搜索。对于 ist0，我们将计算除法：

$$196 \div 11 = \dfrac{196}{11} = 17,\dots$$

该除法的余数是9。

当我们落在奇数页上时，我们有：

6 贴纸可以放在奇数页上；
让我们转到偶数页 18；
页 18 的位置 4。

但值得记住的是：

专辑从第 2 页开始
我们计算页面对，因此页面总数为：
- $18\times 2 = 36$ 页
- 从第 2 页开始，然后从 $36+1=37$ 页开始。

因此，标签 196 出现在第 37 页上。

Q2 项目 c

c) 为了完成他的专辑，Joãozinho 购买了很多包贴纸。粘上最后一张缺失的贴纸后，重复粘贴的数量是粘贴贴纸数量的八倍。

如果专辑售价 20 雷亚尔，每个带有 5 贴纸的包装售价 2 雷亚尔，Joãozinho 花了多少钱来购买他的专辑？满的？

Joãozinho 有以下情况：

购买了 330 贴纸（字母 a），这些贴纸被粘起来并
（声明）：重复粘贴8次330张贴纸。
- 他购买了$\underbrace{(8+1)}_{\text{8 repetidas e 1 colada} } \times 330 = 9\times 330 = 2970$张贴纸，
- 包裹总数为 $2970 \div 5 = 594$ 个包裹，因为每个包裹都有 5 个贴纸。
由于每个包裹的成本为 2 雷亚尔：
- 他花了 $594\text{ pacotes } \times 2\text{ reais} = 1188$ 雷亚尔购买贴纸。
- 专辑成本 20 雷亚尔，

若奥西尼奥花费

$20 + 1188 = 1208$雷亚尔完成专辑。

问题 3

图中的小青蛙从一块岩石跳到邻近的一块岩石，绕来绕去湖周围。例如，如果他从A石顺时针方向跳两次，他最终会到达C石。

Q3 项目a

a) 从石头A开始，青蛙顺时针跳15次后最终会到达哪块石头上？

从图中和语句我们可以得知：

家石A
青蛙在9次跳跃后再次到达石头A
青蛙将跟随更多 6 次跳跃
青蛙停在石头G处
- A 到 A 9 跳转
- A 到 G 6 跳转。
- A 到 G (9+6) =15 跳转

Q3 项目 b

b) 同样，从 A 开始，顺时针方向开始，青蛙会跳 2018 次，并且每次跳的次数是 8 的倍数时总是改变方向。他最终会落在哪块岩石上？

在图中我们注意到：

8 顺时针跳跃 ($A \longrightarrow I$)
8逆时针跳跃($I \longrightarrow A$)
16 总跳过次数

在 2018 次跳转之后，我们有：

$2018 \div 16 = 126$ 余数为 2。
在 126 次跳跃之间来回移动后，你最终会到达石头 A
小青蛙最终落在了石头C上。
- 因为除法的余数是2，所以它从A到C。

Q3 项目 c

c) 最后，从A开始，顺时针方向，小青蛙跳了810次，并且每次都会改变方向因为跳数是 8 的倍数或 12 的倍数。他最终会落在哪块岩石上？

青蛙步骤：

家石A；
8跳到石头I；
转向
- 跳跃 4 岩石 ($8 + 4 = 12$)；
- 到达石头E；
转向
- 跳跃 4 岩石 ($12 + 4 = 16$)；
- 再次到达石头I；
转向
- 跳跃 8 岩石 ($16 + 8 = 24$)；
- 返回石头A；
重新开始整个路线
- 总是在 24 次跳跃后返回石头 A。

现在我们来计算一下例程。

步骤：

作为 $810 \div 24 = 33$ 余数 18，
$24 \times 33 = 792$次跳跃后，你到达石头A
还需要跳跃更多 18 次。

石材回缩剂：

从A开始
余数$18 = 8 + 4 + 4 + 2$
- 8 石头到石头 I；
- 改变方向4跳到石头E；
- 改变方向4跳回石头I；
- 改变方向，剩余2次跳跃，从I到石头G。

问题 4

Marília 有七块木板，如下图所示。

她的玩法是用这些棋子覆盖矩形板上的所有方块，而不是将一个棋子放在另一个棋子之上。每块棋子必须恰好覆盖棋盘上的 4 个方格。

看看 Marília 如何覆盖一块板 2 x 6：

Q4 项目a

a) 使用三块 Marília 棋子覆盖下面的板。

有很多可能性，例如：

Q4 项目 b

b) 哪一块棋子没有覆盖棋盘上相同数量的白色方块和灰色方块？

令该棋子的方块内的数字为邻居的数量。

1 有 1 邻居
2 有 2 个邻居
3 有 3 个邻居

唯一拥有超过 2 个邻居的棋子是 T 棋子，因为它的房子有 3 个邻居。

因此，T 件覆盖的白色方块数量与灰色方块数量不同。

Q4 项目 c

c) 解释为什么 Marília 永远无法覆盖下面的图板。

完整的主板有：

28 房屋；
- 14 白色；
- 14 灰烬；

从字母b我们看到T件是覆盖板的问题。

这样，我们就会假设一个荒谬的情况，即我们不会使用 T 形件。

所以，我们有你的情况：

6 件
板盖
- $6\times 4 =24$ 有盖房屋
遗迹：
- 2 白色方块和 2 黑色方块或
- 2 黑色方块和 2 白色方块

剩下的就是他们拥有的 T 形件：

3 黑色方块和 1 白色或
3 白色和 1 黑色方块

这使得无法覆盖剩余的房屋。

问题 5

一位“数学家”与海伦娜一起测试新魔法。他告诉她：

想象从 1 到 9 的两个数字，一个偶数，一个奇数；
计算你想到的数字的总和；
现在计算其中最大和最小数字之间的差你以为；
将总和乘以差；
告诉我这个乘法的结果是什么，我会找出你想到的数字。

Q5 项目a

a) 如果 Helena 思考数字 4 和 9，她会告诉数学家什么数字？

根据声明：

4 + 9 = 13 e
9 – 4 = 5.

海伦娜将解释如下：

13 和 5 的乘法
魔术师会听到数字65。

Q5 项目b

b) 如果 Helena 说 21，她想到了什么数字？

数字 21 可以用两种方式写成两个自然数的乘积。

第一个是 1 x 21
- 在这种情况下它不起作用，我们在 1 和 9 之间没有两个数字，其总和为 21。
第二个是 3 x 7。
- 如果我们选择 3 作为总和：
  - 我们只有1和2作为选择；
  - 差异为1；
  - 它不给。
- 如果我们选择3作为差值：
  - 3 应该是所寻求的数字和
  - 这些数字的总和必须为 7。

在这种情况下，总和7的可能性如下：

1 e 6;
- $6 - 1 = 5 \neq 3$
2 e 5;
- $5 - 2 = 3$
3 e 4;
- $4 - 3 = 1 \neq 3$

于是，海伦娜想到了数字2和5。

Q5 项目 c

c) 解释为什么 Helena 总是说奇数。

“数学家”描述的规则：

海伦娜必须始终想到偶数和奇数。
- 两个数字（偶数、奇数）的和或差始终是奇数（参见帖子奇数和偶数）；
- 两个奇数的乘积是奇数；
- 海伦娜永远不会说偶数。

Q5 项目 d

d) 解释为什么如果 Helena 说 15，数学家就会怀疑她说的是哪些数字他想。

如果 Helena 说 15，则可能性：

对于数字的和与差的乘积，认为是 1 x 15 或 3 x 5
- 第一种可能性 (1x15)
  - 认为数字之和应为 15，差值应为 1；
  - 总和为 15，
    - 认为的数字可以是6和9或7和8。
    - 由于 9 – 6 = 3 且 8 – 7 = 1，
    - 海伦娜想到的数字是7和8。
- 第二种可能性 (3 x 5)
  - 认为数字的总和应该是和 5 和差 3，
    - 数字可以是 2 和 3 或 1 和 4。
    - 此时，3 – 2 = 1 且 4 – 1 = 3，
    - 海伦娜想到的数字是1和4。

给定两个可能的答案（7和8或1和4），“数学家”将不确定海伦娜想到的数字。

问题 6

自然数必须写在图中的每个空圆圈内，以便三个对齐且连续的圆圈内所写的数字之和始终相同。

Q6 项目a

a) 红色圆圈中应该写什么数字？

陈述，

三个对齐且连续的圆圈中所写的数字之和始终相同。
设x为任意自然数，
在写有数字2和3的圆圈之间的两个圆圈中。

下一步是：

3之后获取序列中的第一个数字，即2
紧随其后的是 X
因此，红圈内的数字是3。

Q6 项目 b

b) 显示所有写入数字的总和是 7 的倍数。

填写字段时：

7乘以数字2（2的计数）；
7乘以数字3（3的计数）；
7 乘以数字 x（x 的计数）；
因此，所有数字的总和是7的倍数。

Q6 项目 c

c) 为了使所有写入的数字之和为 63，蓝色圆圈中应该写入哪个数字？

从b)项我们知道蓝色圆圈是$x$。

所有写入数字的总和等于63

$$ \begin{aligned} 63 &= 7 (2+3+x) \\ \dfrac{63}{7} &= 5+x \\ 9 &= 5+x \\ x &= 9-5 \\ x &= 4 \\ \end{aligned} $$

Euler's Eyes