Euler's Eyes
2026-10-11
帕斯卡的赌注：是一笔计算，不是一个证明
许多人听说过帕斯卡“证明了上帝存在”。他并没有这样做，而且明明白白地说过这是做不到的。他提出的东西更耐人寻味：既然理性无法裁决这个问题，那就换一个问题。不问“上帝存在吗？”，而问“押哪一边更划算？”。然后用他刚刚和费马一起发明的数学——公平分配赌注的数学——来回答这第二个问题。
一张写满涂改的纸
晚年的帕斯卡为一本捍卫基督教的书收集笔记，但这本书始终没有写成。1662 年他去世后，朋友们找到了几百个片段，有些是用剪刀剪下来、再用线串起来的，并在 1670 年以《思想录》为题出版了其中的一部分。
关于赌注的那个片段是一张对折的纸，两面都写满了字，页边和倒过来的方向上还有补充。编者用它开头的几个词来称呼它：“无限，虚无”。这是帕斯卡和一位不信者之间的对话，这位对话者或许是以他在巴黎社交生活中结识的赌徒为原型的，比如德·梅雷骑士。
理性无法裁决
出发点是承认无能为力：
上帝存在，或者不存在。可是我们倒向哪一边呢？理性在这里什么也决定不了。有一片无限的混沌把我们隔开。在这无限距离的尽头，正进行着一场游戏，结果将是正面或反面。你押什么？
— 布莱兹·帕斯卡，《思想录》，片段“无限，虚无”
对话者回答说，正确的做法是什么也不押。帕斯卡拒绝了这条退路：
是的，但必须下注。这并不由你选择：你已经上了船。
— 布莱兹·帕斯卡，《思想录》，片段“无限，虚无”
像信者那样生活，或像不信者那样生活，本身就已经是一种选择。不选择，就等于选择了后者。
四格表
今天，人们把这个赌注写成一张表。有两种选择和两种世界状态：
| 上帝存在 | 上帝不存在 | |
|---|---|---|
| 信 | 无穷的收益：“无限幸福的无限生命” | 损失很小：一些享乐 |
| 不信 | 失去一切 | 得到很少：同样那些享乐 |
帕斯卡分三步走遍这张表，每一步都比前一步更有力。哲学家伊恩·哈金在 1972 年的一篇文章中指出，这是三个不同的论证，而第三个是一笔期望值的计算。
第一步：占优。“如果你赢了，你赢得一切；如果你输了，你一无所失。那就毫不犹豫地押他存在吧。”如果“信”在每一列都更好或一样好，那就根本不需要计算。
**第二步：机会均等时的计算。**对话者反驳说，他还是会失去一些东西。帕斯卡承认这一点，并像掷骰子那样算账：在输赢机会均等时，押一条命去赢两条命是值得的；押一条命去赢三条命而不押，就是愚蠢。
**第三步：无穷。**如果机会并不均等呢？帕斯卡回答说，这无关紧要：
这里有无限幸福的无限生命可以赢得，一个赢的机会对有限个输的机会，而你押上的是有限的。
— 布莱兹·帕斯卡，《思想录》，片段“无限，虚无”
计算
设 $p$ 是你认为上帝存在的概率，无论多小，但大于零。设 $c$ 是信仰生活的代价，是一个有限的数，$G$ 是上帝存在时的收益。信的期望值是
$$E(\text{信})=p\cdot G-(1-p)\cdot c.$$如果 $G$ 有限，结果可以是任何值：它取决于 $p$、$G$ 和 $c$。但帕斯卡令 $G=\infty$。于是，对任何 $p>0$，
$$p\cdot\infty-(1-p)\cdot c=\infty,$$任何有限的选项都无法与之竞争。这和分配赌注是同一个思想：每个赌注的价值等于奖金乘以机会。不同的是，现在奖金是无穷大。
这不是证明
请注意这笔计算没有说什么。它丝毫没有提高概率 $p$。一个原来认为上帝存在的机会是千分之一的人，在赌注之后仍然认为是千分之一。这个论证关乎该怎么做，而不关乎什么是真的。
帕斯卡明白这一点。计算刚结束，对话者就说：“我天生如此，就是无法相信。”帕斯卡没有给他一个证明。他劝对方像信者那样行事，“领圣水，请人做弥撒”，并努力说服自己，“不是靠增加上帝的证据，而是靠减少你的激情”。在帕斯卡看来，信仰来自内心，而不是来自计算；赌注只是为了向赌徒表明，漠不关心是所有选择中最糟的一种。
反驳
这个赌注一问世就受到批评，而这些批评也同样在教数学。
- 哪些神？ 1746 年，德尼·狄德罗写道：“一位伊玛目也可以说同样的话。”如果每种宗教都许诺无穷的收益，这张表就不是两行，而是几十行，而且每一行里都出现无穷大。
- 人能凭决定去相信吗？ 没有人只因为得出“相信会划算”的结论就真的相信某件事。帕斯卡同意这一点，所以他谈的是习惯，而不是决定。
- 无穷大破坏了计算。 一个靠掷硬币来决定是否信仰的人，有 $\frac12$ 的机会去信，他的期望值是 $\frac12\cdot p\cdot\infty=\infty$，与确定去信的人相同。表中一旦有了无穷大，所有留有一点信仰机会的策略都打成平手，计算就再也无法区分这些选择了。
- 语气。 1734 年，伏尔泰认为这个想法“有点不体面，也有点幼稚”：把救赎当作掷硬币的游戏，在他看来是贬低了这个主题。
练习：押一条命去赢两条命
在机会均等时，你押 1 去赢 2。值得吗？这个赌注的期望值是
$$\frac12\cdot2-\frac12\cdot1=\frac12>0.$$值得。如果赢的是 3，期望值是 $\frac12\cdot3-\frac12\cdot1=1$，更大。这就是帕斯卡的第二步，用数字算出来。
练习：收益有限时的赌注
假设收益不是无穷大，而是 $G=1000$，代价是 $c=5$，概率是 $p=\frac1{1000}$。值得去信吗？
$$E=\frac1{1000}\cdot1000-\frac{999}{1000}\cdot5=1-4.995=-3.995<0.$$不值得。收益有限时，答案取决于具体的数，一个很小的概率就可能推翻这个论证。只有无穷大才能让计算对任何 $p>0$ 都不受影响，而恰恰是无穷大引出了掷硬币的反驳。
资料来源： 布莱兹·帕斯卡，《思想录》，片段“Infini rien”（Lafuma 418，Sellier 680）· Ian Hacking, “The logic of Pascal’s wager”, American Philosophical Quarterly, 9(2), 1972, 第 186–192 页 · Pascal’s Wager, Stanford Encyclopedia of Philosophy。
帕斯卡的全部主题 · ← 空气的重量：多姆山实验 · 帕斯卡的遗产 →
图片来源.