万有引力：从苹果到月亮

苹果会落下，月亮为什么不会？

在牛顿之前，答案似乎很简单：天上和地上遵循不同的规则。地上的东西会落下；天上的星体永远沿着完美的圆周运转。牛顿的伟大想法是怀疑这种割裂：也许月亮一直在下落。

牛顿的大炮

在为《原理》准备的草稿中，牛顿提出了一个思想实验。想象一座极高的山顶上有一门大炮，水平开火。火药少，炮弹落在近处；火药多，就落得更远。但地球是圆的：如果炮弹足够快，地面向下弯曲的程度恰好等于它下落的程度。炮弹永远在下落，却永远到不了地面。它进入了轨道。

在地球表面附近，这个速度约为 7.9 km/s，即每小时 2.8 万公里，正是低轨道卫星的速度。绕一圈大约需要 84 分钟（不计空气阻力；实际上卫星必须飞到大气层以上很高的地方）。

月亮就是这样一颗炮弹。它时时刻刻都在朝地球下落，但横向运动得太快，所以永远落不下来。

要让这个想法成立，引力必须随距离增大而减弱。牛顿假设它与距离的平方成反比。用今天的记号：

$$F=G\,\frac{Mm}{r^2}.$$

这里 $M$ 和 $m$ 是两个质量，$r$ 是两个中心之间的距离，$G$ 是一个普适常数。距离加倍，力变为原来的 $1/2^2=1/4$；距离变为三倍，力变为 $1/9$。

牛顿做了一个计算，把这个假设变成了科学。月亮到地心的距离约为地球半径的 60 倍。如果引力随距离平方减弱，月亮的加速度应当是地面上苹果的 $60^2=3600$ 分之一：

$$\frac{9.81}{3600}\approx0.00272\ \text{m/s}^2.$$

现在只用天文学，换一种方法来测量月亮的加速度。它在约 $T\approx27.3$ 天内走完半径 $r\approx384\,400$ 公里的圆周。做圆周运动的物体的加速度是

$$a=\frac{4\pi^2r}{T^2}=\frac{4\pi^2\cdot3.844\times10^8}{(27.32\cdot86\,400)^2}\approx0.00272\ \text{m/s}^2.$$

两个数字吻合。让苹果落地的力和拉住月亮的力是同一个力。牛顿写道，他发现结果“相当接近”。不过在 1666 年，他使用的地球半径数值不准，吻合得并不完美。直到多年后有了更好的测量，这个计算才彻底对上。

几十年前，开普勒从天文数据中发现：行星周期的平方与轨道大小的立方成正比。没人知道为什么。有了万有引力和第二定律，解释只需几行（至少对圆轨道是这样）。

引力就是使物体保持在弯曲轨道上的力：

$$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v^2=\frac{GM}{r}.$$

绕一圈的长度是 $2\pi r$，所以周期 $T=\dfrac{2\pi r}{v}$。两边平方并代入 $v^2$：

$$T^2=\frac{4\pi^2}{GM}\,r^3.$$

这就是开普勒第三定律。对于椭圆轨道，计算更长，牛顿在《原理》中完成了它，并证明在平方反比力作用下的轨道是椭圆——正是他 1684 年给哈雷的回答。

相对于初始半径的倍数：

比较绕同一中心质量运行的圆轨道半径。轨道越大越慢：周期随 r 的 3/2 次方增长。

这个理论中最大胆的词是万有：同一定律适用于苹果、卫星、行星和彗星。1846 年，天王星轨道的不规则促使于尔班·勒维耶计算出一颗未知行星应在的位置。天文学家把望远镜对准那里，发现了海王星。它是先在纸笔上被发现，后来才被看见的。

练习：如果轨道半径变为三倍，周期如何变化？

由 $T^2\propto r^3$ 得 $T\propto r^{3/2}$。周期变为原来的 $3^{3/2}=3\sqrt3\approx5.2$ 倍。

练习：在离地心多远处，引力降为地面值的 1/4？

力按 $1/r^2$ 减小。要变为 1/4，距离需要加倍：2 个地球半径，即离地心约 12 700 公里。

资料来源： 牛顿项目年表 · 牛顿与《原理》，MacTutor。