广义二项式：超越整数次幂

在学校里，我们学过展开 $(1+x)^2=1+2x+x^2$ 和 $(1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3$。系数来自算术三角形（帕斯卡研究过它，而它早在帕斯卡之前就已为人所知）。对于正整数指数，展开式总会结束。

1664–1665 年冬天，还是学生的牛顿提出了一个从没有人如此大胆提出的问题：如果指数是 $\frac12$ 呢？或者 $-1$？$(1+x)^{1/2}$，也就是 $\sqrt{1+x}$，写成 $x$ 的幂之和会是什么样子？

系数的规律

牛顿当时在读约翰·沃利斯的《无穷算术》，书中通过在数表之间插值来计算面积。沿着同样的思路，他注意到二项式系数遵循一个规律，而这个规律并不要求指数是整数：

$$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots$$

每个系数都由前一个系数乘以 $\dfrac{\alpha-k}{k+1}$ 得到。如果 $\alpha$ 是正整数，到某一步因子 $(\alpha-k)$ 会等于零，此后所有项都消失：这就是学校里的二项式。如果 $\alpha$ 不是正整数，就没有哪个因子为零，求和会永远进行下去。

这个级数在 $|x|<1$ 时成立。超出这个范围，各项不减反增，求和就没有结果。

当 $\alpha=-1$ 时，系数是 $1,-1,1,-1,\dots$，我们得到一个早已知道的级数，即等比级数：

$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots$$

当 $\alpha=\frac12$ 时，出现了新东西：

$$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+\cdots$$

牛顿并没有现代意义上的证明。他做的是验算：把这个级数自乘，发现各项相互抵消，最后只剩 $1+x$。用前三项试试：

$$\left(1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}\right)^2=1+x+\left(\frac{x^2}{4}-\frac{x^2}{4}\right)+\cdots=1+x+0\cdot x^2+\cdots$$

$x^2$ 项消失了，正如应该的那样。后面的项也一样。

要计算 $\sqrt{1.21}$，取 $x=0.21$：

$$1+0.105-0.0055125+0.0005788125=1.1000663125.$$

精确值是 $1.1$。只用四项，误差就已经落在小数点后第四位；第五项 $-5x^4/128\approx-0.000076$ 还能进一步改善。原本需要专门算法的开平方，变成了一连串的乘法和加法。

在此之前，无穷级数只是一些奇趣。牛顿把它们变成了工具：任何含有根式或分式的表达式都可以换成幂的和，而幂很容易求导和积分。他正是这样算出了没人会算的曲线下面积，我们将在面积一篇中看到。

牛顿直到 1676 年才公开解释这个方法，写在通过皇家学会秘书亨利·奥尔登堡转给莱布尼茨的两封信里。今天，这个公式是泰勒级数的一个特例。

练习：用三项近似计算 √1.04

取 $x=0.04$：$1+0.02-\dfrac{0.0016}{8}=1+0.02-0.0002=1.0198$。下一项 $x^3/16$ 只有 $0.000004$；真实值是 $1.019804\ldots$

练习：写出 1/√(1+x) 的前三项

这里 $\alpha=-\frac12$。系数为 $1$、$-\frac12$ 和 $\dfrac{(-\frac12)(-\frac32)}{2}=\frac38$。所以 $\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}\approx1-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3x^2}{8}$。

资料来源： 牛顿项目中的数学手稿 · MacTutor 传记。