从统计上看，一位 66 岁的数学家或科学家，似乎不太可能通过继续研究为自己以前的成就增添多少东西。但我仍在努力。

— 约翰·纳什，为诺贝尔基金会写的自传（1994）

约翰·纳什是唯一同时获得诺贝尔奖和阿贝尔奖的人，这是经济学和数学中的两项最高荣誉。他的工作的两半似乎毫无共同之处：一半关于人的决策，另一半关于曲面和方程。把它们联系起来的是风格：用谁都没想到的思想，去攻克人人都认为不可能的问题。

博弈论无处不在

纳什均衡成了经济学的通用语言。它解释了为什么同一个路口的两家加油站价格几乎一样，为什么即使大家都不打广告会更好、企业还是要打广告，为什么气候协议如此困难。1990 年代，许多国家的政府开始用依据博弈论设计的拍卖出售移动电话频段，筹得数百亿美元。

在生物学中，英国人约翰·梅纳德·史密斯在 1970 年代证明，演化也会产生纳什均衡：在种群中存活下来的行为策略，是任何突变都无法改进的策略。在政治学中，均衡有助于理解选举、战争和议会投票。在计算机科学中，它出现在互联网路由和数字市场的算法设计中。1994 年以来，诺贝尔经济学奖已多次颁给博弈论方面的工作。

纯数学

嵌入定理和纳什–莫泽方法改变了几何与分析。纳什为 $C^1$ 情形发明的技术，被俄罗斯人米哈伊尔·格罗莫夫称为凸积分，催生了"刚性与柔性"现象这一整个领域，并在 2018 年被用来证明拉斯·昂萨格关于流体湍流的一个猜想。德乔治–纳什定理是系数不规则的微分方程现代理论的基础，这类方程描述复合材料和多孔介质。

疾病与康复

纳什还留下了关于精神疾病的一课。三十年间，他被看作一个废人。他的康复虽然缓慢而不完全，却表明精神分裂症并不一定是终身判决。获得诺贝尔奖后，他和艾丽西亚成为改善治疗、减少污名的倡导者；他们的儿子约翰·查尔斯也是数学家，也患有精神分裂症。

留下了什么

  • 博弈论。 适用于任何博弈的纳什均衡、混合策略下均衡的存在性，以及议价解。
  • 棋类游戏。 海克斯棋、策略窃取论证，以及与不动点定理的联系。
  • 几何。 $C^1$ 和光滑情形的等距嵌入定理，以及凸积分。
  • 分析。 德乔治–纳什定理，以及求解非线性方程的纳什–莫泽方法。
  • 应用科学。 经济学、演化生物学、政治学、拍卖和计算机科学。

要点回顾

  • 约翰·纳什生于 1928 年，卒于 2015 年。他的主要工作完成于 20 到 30 岁之间，在普林斯顿和麻省理工。
  • 海克斯棋永远不会平局，而且先手总能获胜：这就是策略窃取论证。
  • 在纳什均衡中，谁也无法通过单独改变而改善。均衡可能对所有人都不好，比如囚徒困境。
  • 每个有限博弈都有混合策略均衡。在猜单双中，每人各以 50% 的概率随机出。
  • 在纳什议价中，要使相对于破裂点的收益之积最大，每人得到自己的破裂点收益加上一份剩余。
  • 每个黎曼流形都能无失真地画进欧几里得空间；如果只要求一阶光滑，就连平坦环面也能放进普通空间。
  • 即使在不规则的材料中，热也会抹平：解是赫尔德连续的。

来源： Sylvia Nasar，A Beautiful Mind（Simon & Schuster，1998）· 约翰·纳什的自传，诺贝尔基金会 · 纳什写给国家安全局的信（1955），该局于 2012 年公开。

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