1900 年，在巴黎的国际数学家大会上，大卫·希尔伯特提出了 23 个问题，他认为这些问题将引领 20 世纪的数学。第 19 问题用通俗的话说是：变分法中"性质良好"的问题，其解是否总是光滑函数？半个世纪后，对于一类重要的方程，这个问题仍未解决。1956 年，纳什从一位同事那里听说了它，决定攻克它。

热方程

从最简单的例子开始。一根很长的金属棒在点 $x$、时刻 $t$ 的温度为 $u(x,t)$。热量从热处流向冷处，温度满足傅里叶的热方程：

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\kappa\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2},$$

其中 $\kappa>0$ 是材料的扩散率。方程说：一点的温度比周围的平均值低时就升高，比平均值高时就降低。

如果在零时刻所有热能都集中在一点，那么 $t>0$ 时的解是高斯函数

$$G(x,t)=\frac1{\sqrt{4\pi\kappa t}}\,e^{-x^2/(4\kappa t)}.$$

我们来验证。对 $t$ 求一次导、对 $x$ 求两次导，

$$\frac{\partial G}{\partial t}=\left(-\frac1{2t}+\frac{x^2}{4\kappa t^2}\right)G,\qquad\kappa\frac{\partial^2G}{\partial x^2}=\left(-\frac1{2t}+\frac{x^2}{4\kappa t^2}\right)G.$$

两者相等。钟形曲线随时间变宽变低，面积保持为 1：能量守恒并扩散开来。宽度按 $\sqrt t$ 增长，与爱因斯坦布朗运动中走过的距离完全一样。这不是巧合：热是分子的运动，热方程描述的是从远处看到的随机游走。

当材料不规则时

高斯函数有一个了不起的性质：即使初始温度是一个无限集中的尖峰，对任何 $t>0$，解都是完全光滑的。扩散把一切都抹平了。

但如果材料不均匀呢？想象一块由铜、木头和玻璃碎块胡乱粘成的板，每块导热的方式都不同。方程变为

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(a(x,t)\,\frac{\partial u}{\partial x}\right),$$

其中导热系数 $a(x,t)$ 可以从一块到另一块突然跳变。只要求它介于两个正的界限之间：$0<\lambda\leq a\leq\Lambda$。系数如此不规则，解没有公式，甚至不清楚它是否有导数。问题是：温度会剧烈变化吗，还是热仍然会把一切抹平？

定理

纳什在 1957 年证明，热仍然会抹平：在任意维数中，这些方程的解都是赫尔德连续的，即存在只依赖于 $\lambda$、$\Lambda$ 和维数的常数 $C$ 与 $0<\alpha\leq1$，使得

$$\boxed{|u(x)-u(y)|\leq C\,|x-y|^{\alpha}.}$$

无论材料多么杂乱，温度都不会跳变。纳什的证明极其独到：他用了概率和熵的思想，把热当作扩散开的质量，在没有任何公式的情况下控制住了解。有了这个结果，希尔伯特第 19 问题对这类方程得到了解决。

练习：对 κ = 1 的高斯函数，t = 1 和 t = 4 时中心处的温度各是多少？

在中心 $x=0$，$G(0,t)=\frac1{\sqrt{4\pi t}}$。$t=1$ 时，$G\approx\frac1{3.545}\approx0.282$。$t=4$ 时，$G=\frac1{\sqrt{16\pi}}\approx0.141$：减半。时间变为四倍，高度减半、宽度加倍，面积不变。

练习：函数 u(x) = √|x| 是赫尔德连续的吗？指数是多少？

是的，$\alpha=\frac12$：对 $x,y\geq0$，$|\sqrt x-\sqrt y|\leq\sqrt{|x-y|}$，其他情形取 $C=\sqrt2$ 同样成立。但 $u$ 在 $x=0$ 处没有导数：切线是竖直的。赫尔德连续是比可导更弱的控制，而这正是德乔治–纳什定理所保证的。

来源： John Nash，“Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations”，American Journal of Mathematics 80（1958）· Ennio De Giorgi，“Sulla differenziabilità e l’analiticità delle estremali degli integrali multipli regolari”，Memorie dell’Accademia delle Scienze di Torino（1957）· 2015 年阿贝尔奖颁奖词。

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