Cálculo Numérico

A vida de John Napier

Linha do tempo 1550Nasce no castelo de Merchiston, perto de Edimburgo. O pai, Archibald, tem 16 anos. 1563A mãe morre. Aos 13 anos, John entra na Universidade de St Andrews. c. 1564Deixa St Andrews sem diploma e vai estudar no continente europeu. 1571Volta para a Escócia. 1572Casa-se com Elizabeth Stirling. Vai viver em Gartness, onde constrói um castelo. 1593Publica Uma descoberta clara de todo o Apocalipse de São João, o seu livro mais famoso em vida. 1594Assina um contrato para procurar um tesouro escondido em Fast Castle. 1596Descreve num manuscrito as suas “invenções secretas” de guerra. 1608Com a morte do pai, torna-se o senhor de Merchiston. 1614Publica a Descrição do maravilhoso cânone dos logaritmos. 1615Recebe em Merchiston a visita de Henry Briggs, professor em Londres. 1617Publica a Rabdologia, com os ossos de calcular. Morre em 4 de abril. 1619O filho Robert publica a Construção do maravilhoso cânone dos logaritmos. O menino de Merchiston John Napier nasceu em 1550 na torre de Merchiston, um pequeno castelo de pedra a pouco mais de três quilômetros de Edimburgo. O pai, Sir Archibald Napier, tinha só 16 anos. A família era da nobreza escocesa, e o nome se escrevia de muitas maneiras: Napier, Napeir, Nepair, e em latim Neperus, de onde vem a forma francesa Neper.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Multiplicar somando: as duas progressões

Escreva numa linha as potências de 2 e, embaixo, os expoentes: $$\begin{array}{c|ccccccccccc} 2^n & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 & 512 & 1024\\ \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end{array}$$A linha de cima é uma progressão geométrica: cada número é o anterior vezes 2. A de baixo é uma progressão aritmética: cada número é o anterior mais 1. Agora tente multiplicar $16\times64$. Embaixo de 16 está o 4; embaixo de 64, o 6. Some: $4+6=10$. Em cima do 10 está o 1024. E de fato

October 15, 2026 Iniciar leitura

Os dois pontos de Napier: a definição do logaritmo

Napier não tinha a notação de expoentes que usamos hoje. Para definir os logaritmos, usou uma imagem de movimento, muito antes de Newton e Leibniz criarem o cálculo. A definição Imagine dois pontos que partem juntos. O primeiro, $P$, anda por um segmento $AB$ de comprimento $10^7$, e a sua velocidade em cada instante é igual à distância que ainda falta até $B$: começa rápido e vai freando, sem nunca chegar. O segundo, $Q$, anda por uma reta sem fim, sempre com a velocidade inicial de $P$.

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Briggs e os logaritmos de base 10

Estes números foram inventados primeiro pelo ilustríssimo John Napier, barão de Merchiston; foram depois alterados, segundo a opinião do próprio, por Henry Briggs. — Página de rosto da Arithmetica logarithmica de Henry Briggs (1624) Henry Briggs era professor de geometria no Gresham College, em Londres, e um dos maiores calculadores da Inglaterra. Em março de 1615 escreveu a um amigo que Napier o tinha deixado ocupado “com a cabeça e com as mãos” com os seus novos logaritmos, e que esperava conhecê-lo naquele verão. Conheceu. Na conversa em Merchiston, os dois concordaram que as tábuas ficariam muito mais práticas com duas mudanças: o logaritmo de 1 seria 0, e o de 10 seria 1.

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Os ossos de Napier: multiplicar com barras

Os logaritmos serviam para os grandes cálculos da astronomia. Para as contas do dia a dia, Napier inventou outra coisa, publicada em 1617, o ano da sua morte, num livrinho chamado Rabdologia, do grego rhabdos, vara, e lógos, cálculo: cálculo com varetas. As barras Cada barra, ou “osso”, porque as mais caras eram feitas de marfim, traz no alto um algarismo de 0 a 9 e, embaixo, os seus múltiplos de 1 a 9, em nove quadradinhos cortados por uma diagonal. Acima da diagonal fica a dezena; abaixo, a unidade. A barra do 7, por exemplo, mostra $0/7$, $1/4$, $2/1$, $2/8$, $3/5$, $4/2$, $4/9$, $5/6$, $6/3$.

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O método de Newton: aproximar raízes com tangentes

Algumas equações não têm fórmula. Não existe uma “Bhaskara” para $e^x+x-3=0$, e a fórmula das equações de terceiro grau é tão trabalhosa que quase ninguém a usa. Nesses casos, o jeito é aproximar: chutar um valor, ver o quanto erramos e corrigir o chute. A questão é como corrigir bem. O exemplo de Newton No De analysi, de 1669, Newton escolheu a equação $$y^3-2y-5=0.$$Testando, ele viu que a raiz fica perto de $2$, porque $2^3-2\cdot2-5=-1$. Então escreveu $y=2+p$, onde $p$ é a correção que falta, e substituiu:

October 11, 2026 Iniciar leitura

A régua de cálculo: logaritmos que deslizam

Uma tábua de logaritmos ainda exige procurar números, somar e procurar de novo. Poucos anos depois de Napier, os ingleses perceberam que era possível pôr os logaritmos numa régua e fazer a soma com as mãos. A escala de Gunter Em 1620, o astrônomo Edmund Gunter, colega de Briggs no Gresham College, desenhou uma régua em que cada número $x$ ficava a uma distância proporcional a $\log x$ da marca do 1:

October 15, 2026 Iniciar leitura

O legado de John Napier

Ao reduzir a poucos dias um trabalho de vários meses, a invenção dos logaritmos duplicou, por assim dizer, a vida dos astrônomos. — Frase atribuída a Pierre-Simon Laplace Poucas invenções se espalharam tão depressa. Em menos de dez anos, os logaritmos estavam em uso na Inglaterra, na Holanda, na Alemanha e na Itália. Por três séculos e meio, foram a principal ferramenta de cálculo da humanidade. Kepler O primeiro grande usuário foi Johannes Kepler, que viu as tábuas de Napier em 1617 e ficou entusiasmado. Escreveu em 1619 uma carta de agradecimento ao barão escocês, sem saber que ele estava morto havia dois anos, e dedicou-lhe as suas Efemérides de 1620. Kepler calculou as suas próprias tábuas de logaritmos e as usou nas Tábuas Rudolfinas, de 1627, as tabelas de posições dos planetas mais precisas da época, que confirmaram as órbitas elípticas.

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Créditos das imagens

Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de John Napier, autor desconhecido, 1616, Galerias Nacionais da Escócia: página de origem · domínio público. Página de rosto da Mirifici logarithmorum canonis descriptio, 1614: página de origem · domínio público. Uma página das tábuas de 1614: página de origem · domínio público. Página de rosto da Arithmetica logarithmica de Briggs, 1624, foto de Phidus: página de origem · CC BY-SA 4.0. Ossos de Napier do Museu Whipple, foto de Marsupium: página de origem · domínio público. Torre de Merchiston, foto de Kim Traynor: página de origem · CC BY-SA 3.0. Régua de cálculo, foto de Jacek Halicki: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras do blog O mapa, o grafo da trajetória e as figuras interativas (as duas progressões, os dois pontos, a escala de Briggs, os ossos e a régua de cálculo) são originais e funcionam em todos os idiomas do site. O mapa usa dados do OpenStreetMap.

October 15, 2026 Iniciar leitura