Euler's Eyes
2026-10-15
计算尺：会滑动的对数
对数表仍然需要查数、相加、再查数。纳皮尔之后没几年，英国人就意识到可以把对数刻在尺子上，用手来做加法。
冈特的刻度
1620 年，布里格斯在格雷沙姆学院的同事、天文学家埃德蒙·冈特画了一把尺子，尺上每个数 $x$ 到 1 的刻度的距离都与 $\log x$ 成正比：
$$x\text{ 的位置}=L\cdot\log x.$$1 在开头，10 在末尾，2 在全长的 $0.301$ 处，3 在 $0.477$ 处，5 在 $0.699$ 处。数越往右越挤。做乘法时，用两脚规从 1 量到 $a$，再把这段开度从 $b$ 处量出去：脚尖就落在 $a\times b$ 上，因为距离相加：
$$L\log a+L\log b=L\log(ab).$$奥特雷德的两把尺子
大约 1622 年，牧师兼数学家威廉·奥特雷德不再用两脚规：他把两条相同的刻度并排放置，一条在另一条上滑动。计算 $2\times3.5$ 时，把下尺的 1 对准上尺的 2，在下尺 3.5 的上方读出上尺的数：7。这就是第一把计算尺。
除法是反过来的同一种算法：算 $8\div2.5$ 时，把下尺的 2.5 对准上尺的 8，在下尺 1 的上方读数：3.2。计算尺不告诉你小数点在哪里。计算的人必须知道答案是 3.2、32 还是 0.32，就像布里格斯对数的首数一样。
三百五十年
计算尺后来增加了平方、开方、正弦和对数的刻度，还有一个带细线的玻璃游标，便于精确读数。它能给出三位有效数字，这对几乎所有工程都够用了。桥梁、飞机、发电站和火箭都是用它设计的。阿波罗计划的工程师们使用计算尺，飞船上也带着一把。1972 年科学袖珍计算器出现后，计算尺在短短几年内就消失了。
练习：在一把 25 厘米长的尺上，2、4、8 分别离 1 的刻度多少厘米？
位置是 $25\log x$：2 在 $25\times0.301\approx7.5$ 厘米处，4 在 $25\times0.602\approx15.1$ 厘米处，8 在 $25\times0.903\approx22.6$ 厘米处。1 到 2、2 到 4、4 到 8 的距离相等：乘以 2 总是走同样一段。
练习：在一把有两条相同刻度的尺上，怎样计算 4.5² 和 √20？
算 $4.5^2$ 就是 4.5 乘以 4.5。在只有一个十进位段的尺上，如果把下尺的 1 对准上尺的 4.5，读数会跑到尺外；所以改用下尺的 10 对准上尺的 4.5，在下尺 4.5 上方读数：2.025。由于 $4.5^2$ 在 16 和 25 之间，答案是 20.25。至于 $\sqrt{20}$，要找一个数 $x$，把它放在它自己下面时得到 20；更实用的是用现代计算尺上的平方刻度，直接读出 $\sqrt{20}\approx4.47$。
来源： Edmund Gunter，Description and Use of the Sector, the Crosse-staffe and other Instruments（1623）· William Oughtred，The Circles of Proportion and the Horizontall Instrument（1632）· Florian Cajori，A History of the Logarithmic Slide Rule（1909）。
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