Euler's Eyes
2026-10-15
纳皮尔的两个点：对数的定义
纳皮尔没有我们今天使用的指数记号。为了定义对数，他借助一幅运动的图景，那时离牛顿和莱布尼茨创立微积分还早得很。
定义
设想两个点同时出发。第一个点 $P$ 沿长度为 $10^7$ 的线段 $AB$ 运动，它每一时刻的速度都等于离 $B$ 还剩的距离：开始很快，然后不断减速，永远到不了终点。第二个点 $Q$ 沿一条无限长的直线运动，速度始终等于 $P$ 的初速度。
当 $P$ 离 $B$ 的距离为 $x$ 时，$Q$ 走过的距离就是 $x$ 的对数。
为什么是 $10^7$？纳皮尔想要的是正弦的对数，正弦用于天文和航海。当时正弦不是 0 到 1 之间的数，而是一个大半径圆中半弦的长度，这样可以避免分数。纳皮尔取半径为 $10^7$，于是正弦是至多八位的整数。
今天的算法
有了微积分，这个定义就成了一个微分方程。设 $P$ 剩下的距离为 $x(t)$，速度为 $-x'(t)=x(t)$，且 $x(0)=10^7$。解为
$$x(t)=10^7e^{-t}.$$点 $Q$ 以恒定速度 $10^7$ 运动，所以走过了 $y=10^7t$。消去 $t$：
$$\boxed{\operatorname{NapLog}(x)=10^7\ln\frac{10^7}{x}.}$$例如，当 $P$ 走到一半时，$x=5\,000\,000$，
$$\operatorname{NapLog}(5\,000\,000)=10^7\ln2\approx6\,931\,472.$$注意，纳皮尔的对数随 $x$ 增大而减小，并且 $\operatorname{NapLog}(10^7)=0$。公式里藏着数 $e\approx2.71828$，它要到一个多世纪后才由欧拉命名。纳皮尔从未写出它，但他的对数除去比例因子之外，就是以 $1/e$ 为底的对数。
乘积变成和
由公式可以得出使对数表有用的性质。因为 $\ln$ 把乘积变成和，
$$\operatorname{NapLog}\!\left(\frac{xy}{10^7}\right)=\operatorname{NapLog}(x)+\operatorname{NapLog}(y).$$因子 $10^7$ 很麻烦：每次做乘法都要记得除以它。这是纳皮尔和布里格斯在 1615 年决定编一张新表、令 $\log1=0$、$\log10=1$ 的原因之一。
纳皮尔怎样计算
纳皮尔没有这个公式。他靠反复乘以 $1-10^{-7}$ 来编表：下列各数
$$10^7,\quad10^7\left(1-10^{-7}\right),\quad10^7\left(1-10^{-7}\right)^2,\quad\dots$$的对数非常接近 $0, 1, 2,\dots$ 因为乘以 $0.9999999$ 只需减去右移七位的这个数，每一步只要做一次减法。然后，他用步长更大的辅助表，$1-10^{-5}$ 和 $1-\frac1{2000}$，求出了每隔一分角度的所有正弦的对数。儿子在 1619 年出版的《构造》解释了这个方法。
练习：计算 NapLog(10⁷/e) 和 NapLog(2 500 000)。
当 $x=10^7/e$ 时：$\operatorname{NapLog}=10^7\ln e=10^7$。当 $x=2\,500\,000=10^7/4$ 时：$\operatorname{NapLog}=10^7\ln4=2\times10^7\ln2\approx13\,862\,944$，正是一半处对数的两倍，符合乘积的性质。
练习：为什么在对数表的第一步，NapLog(9 999 999) 几乎恰好等于 1？
$\operatorname{NapLog}(9\,999\,999)=10^7\ln\frac{10^7}{9\,999\,999}=10^7\ln\frac1{1-10^{-7}}$。$h$ 很小时，$\ln\frac1{1-h}\approx h+\frac{h^2}2$，所以这个对数等于 $1+5\times10^{-8}$，几乎就是 1。纳皮尔正是用了这个近似，并估计了误差。
来源： John Napier，Mirifici logarithmorum canonis descriptio（1614）及 Mirifici logarithmorum canonis constructio（1619）· Julian Havil，John Napier: Life, Logarithms, and Legacy（2014）· Eli Maor，e: The Story of a Number（Princeton，1994）。
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