对数用于天文学中的大型计算。为了日常的运算，纳皮尔发明了另一样东西，1617 年，也就是他去世那年，发表在一本小书《算筹术》（Rabdologia）中。书名来自希腊语 rhabdos（棒）和 lógos（计算）：用小棒计算。

算筹

每一根算筹，也叫"骨头"，因为最贵的是象牙做的，顶端写着 0 到 9 中的一个数字，下面是它的 1 到 9 倍，写在九个被斜线分开的小方格里。十位在斜线上方，个位在下方。例如 7 的算筹上写着 $0/7$、$1/4$、$2/1$、$2/8$、$3/5$、$4/2$、$4/9$、$5/6$、$6/3$。

一套 17 世纪的纳皮尔算筹及其盒子，藏于剑桥惠普尔博物馆。
一套 17 世纪的纳皮尔算筹及其盒子，藏于剑桥惠普尔博物馆。Marsupium · Wikimedia Commons · 公有领域

怎样相乘

计算 $425\times6$ 时，把 4、2、5 三根算筹并排放好，看第六行：

$$4\times6=24\ \to\ 2/4,\qquad2\times6=12\ \to\ 1/2,\qquad5\times6=30\ \to\ 3/0.$$

现在从右到左沿斜线相加。第一条斜线只有 0。第二条有 3 和 2：得 5。第三条有 1 和 4：得 5。最后一条只有 2。结果是

$$425\times6=2550.$$

斜线自动完成了普通乘法中的"进位"：每个乘积的十位，都落在下一个乘积个位所在的同一条斜线上。如果一条斜线的和超过 9，多出的部分就进到下一条，和加法一样。

多位数的乘数

要乘一个多位数，比如 $425\times36$，就分别读出第 6 行和第 3 行，再把结果按正确的位置相加：

$$425\times36=425\times30+425\times6=12\,750+2\,550=15\,300.$$

最大的好处是谁也不需要背乘法表：只要会读、会加就行。算筹在几年内传遍欧洲，一直用到 19 世纪。在《算筹术》中，纳皮尔还描述了速算盒，一种更精巧的条板盒，不用写下任何加法就能做更大的乘法。

练习：用算筹计算 736 × 8。

7、3、6 三根算筹的第八行是 $5/6$、$2/4$、$4/8$。从右到左各斜线为：8；$4+4=8$；$2+6=8$；5。所以 $736\times8=5888$。

练习：计算 87 × 9 时，如果一条斜线超过 9 会怎样？

8 和 7 的算筹第九行是 $7/2$ 和 $6/3$。各斜线：3；$6+2=8$；7。结果是 $783$。而 $98\times7$ 时，算筹显示 $6/3$ 和 $5/6$，各斜线为 6、$5+3=8$、6：$686$。如果某条斜线的和是比如 13，就写下 3，并给下一条斜线加 1，正和加法中的进位一样。

来源： John Napier，Rabdologiae, seu numerationis per virgulas libri duo（爱丁堡，1617）· William Frank Richardson（译），Rabdology（MIT Press，1990）· Julian Havil，John Napier: Life, Logarithms, and Legacy（2014）。

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