Euler's Eyes
2026-10-15
布里格斯与常用对数
这些数最初由最杰出的默奇斯顿男爵约翰·纳皮尔发明；后来按照他本人的意见，由亨利·布里格斯加以改变。
— 亨利·布里格斯《对数算术》扉页（1624）
亨利·布里格斯是伦敦格雷沙姆学院的几何学教授，也是英格兰最出色的计算家之一。1615 年 3 月，他写信给一位朋友说，纳皮尔的新对数让他"头脑和双手都忙个不停"，并希望当年夏天去拜见他。他做到了。在默奇斯顿的交谈中，两人一致认为，对数表做两处改动会实用得多：1 的对数为 0，10 的对数为 1。
以 10 为底的对数
这样选择之后，$x$ 的对数就是要得到 $x$ 时 10 必须乘方的指数：
$$\log x=y\iff10^y=x.$$数列的法则也不再有任何碍事的因子：
$$\log(ab)=\log a+\log b,\qquad\log\frac ab=\log a-\log b,\qquad\log a^n=n\log a.$$计算 log 2
布里格斯怎样算出这些数？一个简单的技巧可以说明思路。我们知道
$$2^{10}=1024\approx1000=10^3.$$取对数，$10\log2\approx3$，即 $\log2\approx0.3$。为了更精确，我们利用多出来的部分：$2^{10}=10^3\times1.024$，所以
$$\log2=\frac{3+\log1.024}{10}.$$对于非常接近 1 的数，$\log(1+h)\approx0.4343\,h$。取 $h=0.024$，$\log1.024\approx0.0104$，于是 $\log2\approx0.30104$。真实值是 $0.30103$。其他的对数随之而来：$\log4=2\log2\approx0.60206$，$\log8\approx0.90309$，$\log5=\log10-\log2\approx0.69897$。
布里格斯走得远得多。他对 10 连续开了 54 次平方根，每次都算到 30 多位小数，直到得到一个非常接近 1 的数，它的对数 $1/2^{54}$ 可以直接与它超出 1 的部分相比较。这是一项巨大的工作，而他全靠手算。
首数与尾数
以 10 为底的最大好处是：移动小数点只改变对数的整数部分：
$$\log2=0.30103,\quad\log20=1.30103,\quad\log200=2.30103,\quad\log2000=3.30103.$$整数部分叫首数，表示这个数有几位。小数部分叫尾数，对它们都一样。所以只要一张 1 到 10 之间各数的尾数表，就能用于任何数。
对数表
1617 年，也就是纳皮尔去世那年，布里格斯发表了 1 到 1000 的对数，精确到 14 位小数。1624 年，他在《对数算术》中发表了 1 到 20 000 以及 90 000 到 100 000 的对数，同样是 14 位。荷兰人阿德里安·弗拉克在 1628 年补齐了其余的部分。常用对数表一直被天文学家、航海家、工程师和学生使用到 1970 年代。
练习：已知 log 2 ≈ 0.30103，log 3 ≈ 0.47712，求 log 6、log 1.5 和 log 72。
$\log6=\log2+\log3\approx0.77815$。$\log1.5=\log3-\log2\approx0.17609$。$72=8\times9=2^3\times3^2$，所以 $\log72=3\log2+2\log3\approx0.90309+0.95424=1.85733$。首数 1 表示 72 是两位数。
练习：用对数估算 2⁶⁴，即传说中棋盘上麦粒的数目。
$\log2^{64}=64\log2\approx64\times0.30103=19.26592$。首数 19 表示这个数有 20 位，尾数 $0.26592$ 对应 $10^{0.26592}\approx1.845$。所以 $2^{64}\approx1.845\times10^{19}$。精确值是 $18\,446\,744\,073\,709\,551\,616$。
来源： Henry Briggs，Arithmetica logarithmica（伦敦，1624）· Ian Bruce，“The agony and the ecstasy: the development of logarithms by Henry Briggs”，The Mathematical Gazette 86（2002）· Julian Havil，John Napier: Life, Logarithms, and Legacy（2014）。
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