Euler's Eyes
2026-10-14
光是电磁波
我们几乎无法回避这样的结论：光是由同一种介质的横向波动构成的，而这种介质正是电磁现象的起因。
— 詹姆斯·克拉克·麦克斯韦，《论物理力线》（1862），斜体为原文所加
1861 年夏天，在远离书本的格伦莱尔，麦克斯韦用他的涡旋和小轮子模型做了一个计算：如果传递电力和磁力的介质受到扰动，扰动会以波的形式传播。速度是多少？计算给出的数只取决于两个在实验室里用磁铁和电荷测得的常数。他手头没有这些数值。10 月回到伦敦后，他去查了。那个数就是 光速。
波动方程
我们用今天形式的方程重新算一遍。在没有电荷也没有电流的地方，$\rho=0$，$\mathbf J=0$，方程组变成
$$\nabla\cdot\mathbf E=0,\qquad\nabla\cdot\mathbf B=0,\qquad\nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},\qquad\nabla\times\mathbf B=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}.$$对第三个方程取旋度：
$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf E)=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf B)=-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2},$$这里用到了第四个方程。左边，一个矢量恒等式给出 $\nabla\times(\nabla\times\mathbf E)=\nabla(\nabla\cdot\mathbf E)-\nabla^2\mathbf E$，而由第一个方程，第一项为零。剩下
$$\boxed{\nabla^2\mathbf E=\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}.}$$这就是 波动方程，与达朗贝尔的振动弦和声音的方程相同。在波动方程 $\nabla^2u=\frac1{v^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}$ 中，波速是 $v$。所以这里
$$v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}.$$那个数
用今天的数值，$\varepsilon_0\approx8.854\times10^{-12}$ F/m，$\mu_0\approx1.257\times10^{-6}$ H/m，
$$v=\frac1{\sqrt{8.854\times10^{-12}\cdot1.257\times10^{-6}}}\approx2.998\times10^8\ \text{m/s}=299\,792\ \text{km/s}.$$1862 年，麦克斯韦用了德国人威廉·韦伯和鲁道夫·科尔劳施 1856 年用莱顿瓶放电测得的常数，得到 310 740 km/s。当时最好的光速测量是法国人伊波利特·菲佐 1849 年用齿轮和 8 千米外的一面镜子做的，结果是 314 858 km/s。这两个数是用毫不相干的途径得到的，一个靠磁铁，一个靠镜子，相差只有百分之一多一点。这就是引文那句话的由来，麦克斯韦把它写成了斜体。
波的样子
最简单的解是沿 $x$ 方向传播的平面波：
$$\mathbf E=E_0\cos(kx-\omega t)\,\hat{\mathbf y},\qquad\mathbf B=\frac{E_0}{c}\cos(kx-\omega t)\,\hat{\mathbf z},$$其中 $\omega=ck$。电场在 $y$ 方向振荡，磁场在 $z$ 方向振荡，两者都垂直于波的传播方向：这是 横波，正如麦克斯韦所预言的，这也是光可以 偏振 的原因，而这一点早在十八世纪就已为人所知。磁场比电场小 $c$ 倍，两者同步振荡，相位相同。
赫兹与电磁波谱
方程中没有任何东西限制频率。如果可见光是每秒振荡约 500 万亿次的电磁波，那就应该存在任何频率的波，更慢的和更快的。麦克斯韦在 1879 年去世，没能看到它们。1887 年，德国人海因里希·赫兹在一个电路中制造火花，在房间另一头的一个金属线圈中检测到了感应火花：那是几米长的电磁波，会反射、会折射，以光速传播。有人问它们有什么用，赫兹回答说毫无用处，只是证明了麦克斯韦是对的。七年后，马可尼开始搞无线电。
今天，由 $c=\lambda f$，我们一个算式就能读出整个波谱：
| 波 | 频率 | 波长 |
|---|---|---|
| 调频广播 | 100 MHz | 3 m |
| 微波与无线网络 | 2.45 GHz | 12 cm |
| 绿光 | $6\times10^{14}$ Hz | 500 nm |
| X 射线 | $3\times10^{18}$ Hz | 0.1 nm |
练习：频率为 1 000 kHz 的调幅电台，波长是多少？
$\lambda=\frac cf=\frac{3\times10^8}{10^6}=300$ 米。所以调幅广播的天线是巨大的铁塔：它们的高度通常是波长的相当一部分，有几十米。
练习：一束 650 nm 的红色激光。它的频率是多少？光走 1 米时，电场振荡多少次？
$f=\frac c\lambda=\frac{3\times10^8}{650\times10^{-9}}\approx4.6\times10^{14}$ Hz。1 米里包含 $\frac{1}{650\times10^{-9}}\approx154$ 万个波长：在这段距离上，电场振荡 150 多万次。
来源： James Clerk Maxwell，“On physical lines of force”，第三部分，Philosophical Magazine 23（1862）· Heinrich Hertz，Electric Waves（1893）· 《费曼物理学讲义》第二卷第 20 章。
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