起初，看到这么强大的数学力量被施加在这个问题上，我几乎吓了一跳；后来我又惊讶地发现，这个问题竟然承受得这么好。

— 迈克尔·法拉第致麦克斯韦的信（1857 年 3 月 25 日）

1820 年以前，电和磁是两门不相干的学问。电会产生火花，让人头发竖起；磁让指南针指向北方。那一年，丹麦人汉斯·克里斯蒂安·奥斯特在哥本哈根大学的一堂课上把电池接到一根导线上，看到旁边的磁针动了。电流产生了磁。

法拉第的力线

迈克尔·法拉第（1791–1867），想象出力线的铁匠之子。
迈克尔·法拉第（1791–1867），想象出力线的铁匠之子。作者不详，1850 年代 · Wikimedia Commons · 公有领域

在伦敦，铁匠的儿子迈克尔·法拉第——他 13 岁就离开学校去当装订学徒——把这一发现推进了一步。1821 年，他造出了第一台电动机：一根绕着磁铁转动的导线。1831 年，他发现了奥斯特效应的反面：一块在导线附近 运动 的磁铁会产生电流。这就是 电磁感应，所有电站发电机和自行车发电机的原理。

法拉第除了算术之外不懂数学。他思考时，想象磁铁和电荷周围的空间充满了 力线，就像铁屑在磁铁周围画出的线条那样。重要的是力线，而不是磁铁。数学家们认为这个想法很幼稚：在他们看来，力是超距作用的，就像牛顿的引力一样。

麦克斯韦认真对待法拉第的力线。1855 年，24 岁的他发表了《论法拉第的力线》，把图像翻译成了方程。1861 年和 1862 年，他在《论物理力线》中设想了一个空间的力学模型：旋转的流体管，管与管之间隔着像齿轮一样的小球。这个模型很奇特，但起到了脚手架的作用。借助它，麦克斯韦找到了 位移电流 和 波的速度。1865 年，在《电磁场的动力学理论》中，他拆掉了脚手架：只剩下方程，共 二十个，含二十个未知量，按分量一个个写出。

四元数还是矢量？

二十个方程很难读。需要一种更好的记号，而且已经有一个候选者：爱尔兰人威廉·罗恩·哈密顿的 四元数，一种由四部分组成的数，$q=w+ai+bj+ck$。麦克斯韦的中学同学彼得·格思里·泰特是四元数的大力倡导者，在 1870 年至 1871 年两人的通信中，他试图说服麦克斯韦在《通论》里使用四元数。

麦克斯韦只接受了一半。他喜欢含三个分量的部分 $ai+bj+ck$，它能很好地表示有方向的量，比如磁场；但他看不出第四部分 $w$ 有什么物理意义。在《电磁通论》（1873）中，他把标量部分与矢量部分分开，并且只是适度地使用四元数。在 1871 年的一篇论文中，他为场的运算起了一些我们至今仍在使用的名字：curl，即旋度，衡量一个场绕某点旋转的程度；还有 convergence，衡量场向某点汇聚的程度，它与今天的散度正好相反。

《电磁通论》第一卷扉页（牛津，1873）。
《电磁通论》第一卷扉页（牛津，1873）。Wikimedia Commons · 公有领域

下一步是由两位自学成才的《通论》读者迈出的。英国人奥利弗·亥维赛，一位 16 岁辍学的电报员，和耶鲁大学的美国人约西亚·威拉德·吉布斯，抛弃了四元数，各自独立地创立了现代 矢量分析，包括点积和叉积。1884 年和 1885 年，亥维赛把麦克斯韦的二十个方程改写成了 四个。今天每本教科书里出现的都是这种形式。

四个方程

在真空中，有密度为 $\rho$ 的电荷和密度为 $\mathbf J$ 的电流时，电场 $\mathbf E$ 和磁场 $\mathbf B$ 满足

$$\boxed{\begin{aligned}\nabla\cdot\mathbf E&=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\\ \nabla\cdot\mathbf B&=0\\ \nabla\times\mathbf E&=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}\\ \nabla\times\mathbf B&=\mu_0\mathbf J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}\end{aligned}}$$

其中 $\varepsilon_0$ 和 $\mu_0$ 是两个在实验室里测得的常数。散度 $\nabla\cdot$ 衡量一个场从某点"流出"多少，就像泉眼冒水；旋度 $\nabla\times$ 衡量场绕某点"旋转"多少，就像水从下水口旋下。用文字说：

方程 名称 含义
1 高斯定律 电场线从正电荷出发，终止于负电荷。
2 磁场的高斯定律 磁感线没有起点也没有终点：不存在孤立的磁极。
3 法拉第定律 变化的磁场产生环绕它的电场。
4 安培-麦克斯韦定律 电流或变化的电场产生环绕它的磁场。

要计算速度为 $\mathbf v$ 的电荷 $q$ 的运动，再加上洛伦兹力 $\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)$，整个电磁学就都在这里了。

一个检验：库仑定律

方程组包含了旧的定律。取一个静止的电荷 $q$。由对称性，电场指向外，在半径为 $r$ 的球面上各点的大小 $E$ 都相同。积分形式的高斯定律说，穿过球面的电场通量等于电荷除以 $\varepsilon_0$：

$$E\cdot4\pi r^2=\frac q{\varepsilon_0}\quad\Longrightarrow\quad E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}.$$

这就是 1785 年的库仑定律：力随距离的平方减小，和牛顿的引力一样。原因是几何上的：同样多的力线分布在面积为 $4\pi r^2$ 的球面上，而这个面积随半径的平方增长。

练习：场 E = (−y, x, 0) 绕 z 轴旋转。计算它的旋度和散度。

旋度为 $\nabla\times\mathbf E=\left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z},\ \frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x},\ \frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\right)=(0,0,1-(-1))=(0,0,2)$。散度为 $\frac{\partial(-y)}{\partial x}+\frac{\partial x}{\partial y}+0=0$。这个场只旋转而不从任何地方流出：旋度不为零，散度为零，就像导线周围磁场的磁感线。

练习：距 1 微库电荷 1 米处的电场是多少？取 1/(4πε₀) ≈ 9 × 10⁹。

$E=9\times10^9\cdot\frac{10^{-6}}{1^2}=9\,000$ 伏每米。在 2 米处，电场小到四分之一，为 2 250 V/m；在 10 米处，小到百分之一，为 90 V/m。

来源： James Clerk Maxwell，“A dynamical theory of the electromagnetic field”，Philosophical Transactions of the Royal Society 155（1865）· Michael J. Crowe，A History of Vector Analysis（Dover，1994），第 4–5 章 · 《费曼物理学讲义》第二卷第 18 章。

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