因此，唯一可能存在的环系，是由无数互不相连的粒子组成的，它们按照各自的距离以不同的速度绕行星运转。

— 詹姆斯·克拉克·麦克斯韦，《论土星环运动的稳定性》（1859）

1610 年，伽利略用望远镜观察土星，以为这颗行星长着"耳朵"。1655 年，惠更斯认识到那是一个又薄又平、不与行星接触的环。两百年后，仍然没有人知道这个环 是由什么 构成的。是像黑胶唱片那样的实心圆盘？是液体？还是一团石块？

1855 年，剑桥大学把这个问题选为 亚当斯奖 的题目。这个奖是为纪念预言了海王星存在的天文学家约翰·柯西·亚当斯而设立的。参赛者要弄清什么样的环才能保持稳定。当时 24 岁的麦克斯韦为此花了两年时间。他是唯一的参赛者。

环上的开普勒定律

先从任何做圆周运动的物体都知道的事情说起。质量为 $M$ 的行星的引力提供向心力：

$$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v=\sqrt{\frac{GM}{r}}.$$

越远越慢。这就是开普勒第三定律，行星绕太阳运行时遵守它。对土星，$GM\approx3.79\times10^{16}$ m³/s²。主环从离行星中心约 74 600 千米延伸到约 136 800 千米。于是：

到土星中心的距离 轨道速度 绕行一周的时间
74 600 千米（内缘） 22.5 km/s 5.8 小时
92 000 千米 20.3 km/s 7.9 小时
117 600 千米 18.0 km/s 11.4 小时
136 800 千米（外缘） 16.7 km/s 14.3 小时

内缘不到 6 小时转一圈；外缘要 14 个多小时。

为什么实心环不行

在刚性圆盘上，所有点转一圈的时间都一样：圆盘像轮子一样整体转动。所以每一点的速度随距离 增大，$v=\omega r$；而引力却要求速度 减小，$v=\sqrt{GM/r}$。不可能在所有点上同时满足这两者。

如果圆盘按适合中间部分的速率转动，外面部分就转得太快，维持它在轨道上所需的力只能来自圆盘本身的刚性，圆盘会被向外拉伸；里面部分转得太慢，会被向内拉。整个环将承受巨大的应力。麦克斯韦算出，没有任何已知材料能承受；他还证明了更多：即使是一个理想的均匀实心环也是 不稳定的。最小的不平衡都会让环漂移，最终撞上行星。惠更斯想象的是实心环；它不可能存在。

液体环也不行：麦克斯韦证明，环上会形成波，波会增长，把环打碎成液滴。只剩下一种可能：环是由 无数松散的颗粒 组成的，每个颗粒都在自己的轨道上，以引力给它的速度运行。里面的跑得快，超过外面的，就像不同车道上的汽车。

2013 年 10 月卡西尼号从上方拍摄的土星及其环。土星环由数十亿块冰组成，小到尘粒，大到房子那么大的冰块。
2013 年 10 月卡西尼号从上方拍摄的土星及其环。土星环由数十亿块冰组成，小到尘粒，大到房子那么大的冰块。NASA/JPL-Caltech/Space Science Institute · Wikimedia Commons · 公有领域

证实

麦克斯韦获得了奖项，皇家天文学家乔治·艾里称这篇论文是*“我所见过的数学应用于物理学最杰出的例子之一”*。观测上的证实是一点点来的。1895 年，美国人詹姆斯·基勒用多普勒效应测量了环不同部分的速度，看到里面部分转得更快，与预言完全一致。1980 年和 1981 年，旅行者号飞掠土星；2004 年到 2017 年，卡西尼号绕土星运行：土星环由数十亿块水冰组成，小到尘粒，大到几米宽的冰块。

旅行者号证实这一理论时，麦克斯韦已经去世一百年了。如今，C 环中的一条缝隙以他的名字命名：麦克斯韦环缝。

练习：土卫一（弥玛斯）在距土星中心 185 500 千米处运行。它绕一圈要多久？

速度为 $v=\sqrt{3.79\times10^{16}/1.855\times10^8}\approx14.3$ km/s。轨道长度为 $2\pi\cdot185\,500\approx1.166\times10^6$ 千米。周期为 $\frac{1.166\times10^6}{14.3}\approx81\,500$ 秒，约 22.6 小时。由开普勒第三定律，$T\propto r^{3/2}$：与环的内缘相比，是 $\left(\frac{185\,500}{74\,600}\right)^{3/2}\approx3.9$ 倍，$3.9\cdot5.8\approx22.6$ 小时。

练习：如果环是一个以内缘周期 5.8 小时转动的刚性圆盘，外缘的速度是多少？与轨道速度比较。

在刚性圆盘上 $v\propto r$：外缘速度为 $22.5\cdot\frac{136\,800}{74\,600}\approx41.3$ km/s。那里的轨道速度只有 $16.7$ km/s，逃逸速度是它的 $\sqrt2$ 倍，约 23.6 km/s。外缘松脱的一块会飞离土星而去。只有材料的刚性才能拉住它，而没有任何材料能承受这种力。

来源： James Clerk Maxwell，On the Stability of the Motion of Saturn’s Rings（剑桥，1859）· 麦克斯韦传记，MacTutor · 土星，NASA Science。

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