Euler's Eyes
2026-10-11
莱布尼茨的记号：描述变化的语言
在符号中可以看到一种有利于发现的优点：当符号简洁地表达出事物的确切本性，仿佛把它描绘出来时，这种优点最大；这时，思考的劳动便奇妙地减少了。
— 莱布尼茨致契恩豪斯的信（1678）
牛顿最先得到了微积分，但决定它怎么写的是莱布尼茨。而写法造成了天壤之别。
字母 d
1675 年 11 月 11 日，莱布尼茨在巴黎写的一份手稿中开始用字母 $d$ 表示一个无穷小的差。$d$ 来自拉丁文 differentia，源于动词 differre，意为“分开”。于是：
- $dx$ 是 $x$ 的两个非常接近的值之间的微小差；
- $dy$ 是 $y$ 相应的差；
- $\dfrac{dy}{dx}$ 是它们的比：$x$ 每变化一点点，$y$ 变化多少。
“微分学”（differential calculus）的名称由此而来：关于差的计算。
用 dx 来计算
莱布尼茨把 $dx$ 和 $dy$ 当作真正的量，只不过是无穷小的量。对于 $y=x^2$，如果 $x$ 变为 $x+dx$，那么
$$dy=(x+dx)^2-x^2=2x\,dx+(dx)^2.$$由于 $(dx)^2$ 比 $dx$ 无穷地小，他把它略去，得到 $dy=2x\,dx$，即
$$\frac{dy}{dx}=2x.$$这与牛顿用流数所做的计算相同，只是写法不同。今天我们用极限来说明“略去 $(dx)^2$”的合理性：有限差之比为 $2x+h$，当 $h\to0$ 时趋于 $2x$。
1684 年的论文
1684 年 10 月，莱布尼茨在莱比锡的期刊《学术纪事》上发表了他的法则，标题很长：《一种求极大值与极小值以及切线的新方法，它不受分数或无理量的阻碍，以及一种为此而用的奇妙算法》。这是六页密密麻麻、错印很多的文字，几乎没人看得懂。雅各布·伯努利和约翰·伯努利兄弟看懂了，正是他们把微积分传遍了欧洲。
“函数”这个概念是一点一点获得名字和符号的：
| 年份 | 作者 | 写法 |
|---|---|---|
| 1637 | 勒内·笛卡儿 | $x$ 与 $y$ 之间的一个方程 |
| 1671 | 艾萨克·牛顿 | 流量，流动的量 |
| 1673 | 莱布尼茨 | 拉丁词 functio |
| 1718 | 约翰·伯努利 | 第一个定义：由一个变量和常数构成的量 |
| 1734 | 莱昂哈德·欧拉 | 符号 $f(x)$ |
链式法则：奇妙的缩写
当一个量依赖于另一个量、而后者又依赖于第三个量时，莱布尼茨记号的巨大优势就显现出来了。先从普通的数开始。请看：
$$\frac34=\frac35\cdot\frac54,\qquad \frac45=\frac43\cdot\frac35.$$中间的数约掉了。数变小时，它照样约掉：
$$\frac{0.3}{0.4}=\frac{0.3}{0.5}\cdot\frac{0.5}{0.4},\qquad \frac{0.03}{0.04}=\frac{0.03}{0.05}\cdot\frac{0.05}{0.04}.$$不管数变得多小，中间那个数总会消失。一般地，若 $z$、$y$、$x$ 是数（$y\ne0$，$x\ne0$），则 $\dfrac zx=\dfrac zy\cdot\dfrac yx$。对差也成立：
$$\frac{\Delta z}{\Delta x}=\frac{\Delta z}{\Delta y}\cdot\frac{\Delta y}{\Delta x}.$$过渡到无穷小的差，就得到链式法则：
$$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}.$$这个公式看起来像简单的分数约分。严格来说并非如此，因为严谨的证明需要对极限加以小心处理。但这个记号能让你毫不费力地记住正确的法则。这正是莱布尼茨所说的“节省思考劳动的缩写”。
举个例子。若 $z=y^2$，$y=3x+1$：
$$\frac{dz}{dy}=2y,\qquad\frac{dy}{dx}=3\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{dz}{dx}=2y\cdot3=6(3x+1).$$用牛顿的记号，同样的法则需要用文字说明，或者写得更加小心。用莱布尼茨的记号，它几乎是自己写出来的。
为什么这个记号胜出
欧洲大陆的数学家采用了莱布尼茨的 $d$，微积分在伯努利家族、欧拉和拉格朗日手中迅速发展。在英国，出于对牛顿的忠诚，人们坚持用小点记号一百多年，英国数学因此落后。今天两者并用：微积分中用 $\dfrac{dy}{dx}$，物理中用 $\dot x$。
练习：用链式法则求 y = (2x + 5)² 的导数
令 $u=2x+5$：$\dfrac{dy}{du}=2u$，$\dfrac{du}{dx}=2$。所以 $\dfrac{dy}{dx}=2u\cdot2=4(2x+5)$。
练习：一个球形气球的半径为 r = 2t（单位厘米，t 以秒计）。t = 1 时体积增长得多快？
$V=\frac43\pi r^3$，所以 $\dfrac{dV}{dr}=4\pi r^2$，$\dfrac{dr}{dt}=2$。由链式法则，$\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\cdot2$。当 $t=1$ 时 $r=2$，$\dfrac{dV}{dt}=32\pi\approx100.5$ cm³/s。
资料来源： 莱布尼茨与微积分的发表，MacTutor。
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