积分号 ∫：从求和到累积

1675 年 10 月 29 日，莱布尼茨在巴黎研究一个面积问题。在此之前，他沿用意大利人卡瓦列里的做法，写 omn.（拉丁文 omnia“全部”的缩写）来表示一个图形中所有线段之和。写到页面中间时，他写道：

用 ∫ 代替 omn. 会很有用。
— 莱布尼茨，1675 年 10 月 29 日手稿

符号 $\int$ 是一个拉长的 S，取自 summa，即“和”。在当时的手写中，长 s 是一个普通字母。从那以后，这个符号再也没有被取代。

把薄片加起来

莱布尼茨的想法是把一个区域切成极细的竖直薄片。每片几乎是一个高为 $y$、宽为 $dx$ 的矩形，面积为 $y\,dx$。总面积就是所有薄片之和：

$$\int y\,dx.$$

这个符号一下子说明了一切：把高（$y$）乘以微小的宽（$dx$）全部加起来（$\int$）。求和的上下限写在上方和下方：$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ 就是从 $x=a$ 到 $x=b$ 所有薄片之和。

还记得传记中惠更斯给莱布尼茨出的那道题吗？在那里，一串差之和几乎全部抵消：

$$(F_1-F_0)+(F_2-F_1)+(F_3-F_2)+\cdots+(F_n-F_{n-1})=F_n-F_0.$$

把一个量的所有微小变化加起来，剩下的只有总变化：终值减初值。莱布尼茨意识到，对于无穷小的差，情况也一样。如果 $dF=f(x)\,dx$，那么

$$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b dF=F(b)-F(a).$$

换句话说，$\int$ 和 $d$ 互相抵消，就像加法和减法。这就是微积分基本定理，以最简短的方式写了出来。牛顿则沿着流数的道路得到了同样的结论。

求 $y=x^2$ 在 $0$ 与 $3$ 之间的面积，我们要找满足 $dF=x^2\,dx$ 的 $F$。由于 $d\!\left(\frac{x^3}{3}\right)=x^2\,dx$：

$$\int_0^3x^2\,dx=\frac{3^3}{3}-\frac{0^3}{3}=9.$$

一辆汽车加速行驶，速度为 $v(t)=3t^2$ 米/秒。在每一小段时间 $dt$ 内，它走过 $v\,dt$。从 $t=0$ 到 $t=2$ 秒，总距离为

$$\int_0^2 3t^2\,dt=\Big[t^3\Big]_0^2=8\ \text{米}.$$

单位可以帮助检验：速度（m/s）乘以时间（s）得到米。莱布尼茨的记号把单位也一并带上，这也是它在物理和工程中被广泛使用的原因之一。

需要注意：如果速度改变符号，也就是汽车倒车，积分给出的是位移，即终点位置减起点位置。要得到走过的总路程，应对速度的绝对值积分。

1673 年，刚到巴黎不久的莱布尼茨读到了布莱兹·帕斯卡一篇关于四分之一圆的正弦的文章，收在《A. 德通维尔书信集》里。帕斯卡在圆上的一点画了一个极小的三角形：一条边水平，一条边竖直，第三条边沿着曲线。

莱布尼茨意识到，这个三角形对任何曲线都适用，而不只是圆。它的三条边是 $dx$、$dy$ 和曲线本身的一小段 $ds$。因为它是直角三角形，由勾股定理得

$$ds^2=dx^2+dy^2.$$

他把它叫作特征三角形，后来说正是在这里，他看到了连帕斯卡本人都没有看到的一道光。有了这个三角形，莱布尼茨既能求切线（斜率是 $dy/dx$），也能求曲线的长度：把所有的 $ds$ 加起来就行。

$$L=\int ds=\int_a^b\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx.$$

例如，对于 $x=0$ 到 $x=3$ 之间的 $y=\frac23x^{3/2}$，有 $\dfrac{dy}{dx}=\sqrt x$，长度是

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\Big[\tfrac23(1+x)^{3/2}\Big]_0^3=\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

记号替我们完成了工作：莱布尼茨的 $ds$ 就是斜边，积分就是所有斜边之和。

莱布尼茨于 1686 年在《学术纪事》上发表了符号 $\int$，论文题为《论深奥的几何》。他在文中说明，面积和切线这两个看似不同的问题，其实是同一枚硬币的两面。

练习：计算 2x + 1 在 0 与 3 之间的积分

一个原函数是 $x^2+x$，因为 $d(x^2+x)=(2x+1)\,dx$。积分值为 $(9+3)-(0+0)=12$。由于函数在该区间上为正，这个数也是图像下方的面积。

练习：一个水龙头每分钟流出 4t 升水。从 t = 0 到 t = 5 分钟共流出多少？

$\displaystyle\int_0^5 4t\,dt=\Big[2t^2\Big]_0^5=50$ 升。

资料来源： 莱布尼茨的手稿与著作，MacTutor。