大约在 1637 年，皮埃尔·德·费马在一本书的页边写道，当 $n$ 大于 2 时，方程

$$x^n+y^n=z^n$$

没有正整数解，并说他有一个绝妙的证明，可惜页边太窄写不下。这就是费马大定理。没有人找到过他的证明，这个问题直到 1994 年才由安德鲁·怀尔斯解决。

到 1800 年为止，进展很有限。费马证明了 $n=4$ 的情形，欧拉证明了 $n=3$ 的情形。只需研究素数指数 $n=p$ 就够了，但每个素数都需要专门的技巧，没有人能越过 3。索菲·热尔曼是第一个一次就对无穷多个指数证明了某种结论的人。

两种情形

索菲把问题分成两部分。假设存在一个解 $x^p+y^p=z^p$。要么 $x$、$y$、$z$ 三个数都不是 $p$ 的倍数，今天称为第一情形；要么其中某个是，称为第二情形。她的定理处理的是第一情形。

热尔曼定理。 如果 $p$ 是奇素数，且 $2p+1$ 也是素数，那么不存在都不是 $p$ 的倍数的整数 $x, y, z$，使得 $x^p+y^p=z^p$。

$2p+1$ 也是素数的素数 $p$，今天称为索菲·热尔曼素数：$3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, \ldots$

以 p = 5 为例的思路

我们来看 $p=5$ 时证明的核心，这时 $2p+1=11$。假设 $x^5+y^5=z^5$。把一切都放到模 11 下来看。正如我们在写给高斯的信中看到的，五次幂模 11 只能是 $0$、$1$ 或 $-1$。

如果三个数都不是 11 的倍数，三个五次幂就都是 $\pm1$。但两个 $\pm1$ 之和只能是 $-2$、$0$ 或 $2$，而这些模 11 都不是 $\pm1$：

$$\pm1\pm1\in\{-2,\,0,\,2\}\not\ni\pm1\pmod{11}.$$

所以 $x$、$y$、$z$ 中必有一个是 11 的倍数。这是第一步。在第二步中，索菲利用分解式

$$z^5-y^5=(z-y)\left(z^4+z^3y+z^2y^2+zy^3+y^4\right)$$

和其他同余关系证明：如果 11 整除其中一个数，那么 5 也必须整除其中一个数。这与第一情形的假设矛盾，所以解不可能存在。

$2p+1$ 的作用是充当一个辅助素数，在它之下 $p$ 次幂贫乏到方程变得不可能。索菲意识到其他辅助素数也可以用，并借助它们验证了所有小于 100 的素数的第一情形。勒让德把验证推广到了 197。

索菲之后

她开辟的道路由狄利克雷和勒让德继续，他们在 1825 年证明了 $n=5$ 的情形；拉梅在 1839 年证明了 $n=7$。19 世纪中叶，恩斯特·库默尔一次性解决了所有“正则”素数。怀尔斯在 1994 年的完整证明用的是完全不同的想法，但热尔曼定理一直被称为关于这个问题的第一个一般性结果。

练习：用 p = 3 和 2p + 1 = 7 证明：若 x³ + y³ = z³，则其中一个数是 7 的倍数

模 7 时，立方数只能是 $0$、$1$ 或 $6\equiv-1$。如果三个数都不是 7 的倍数，就会有 $\pm1\pm1\equiv\pm1\pmod 7$。但 $\pm1\pm1$ 只能是 $-2\equiv5$、$0$ 或 $2$，没有一个是 $1$ 或 $6$。所以 7 整除 $x$、$y$ 或 $z$。

练习：小于 100 的素数中，哪些是索菲·热尔曼素数？

对每个素数 $p$ 检验 $2p+1$：$2\to5$、$3\to7$、$5\to11$、$11\to23$、$23\to47$、$29\to59$、$41\to83$、$53\to107$、$83\to167$ 和 $89\to179$ 都是素数。其他的都不行，例如 $7\to15$、$13\to27$。共 10 个：$2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89$。

资料来源： Reinhard Laubenbacher 与 David Pengelley，“‘Voici ce que j’ai trouvé’: Sophie Germain’s grand plan to prove Fermat’s Last Theorem”，Historia Mathematica（2010）· 索菲·热尔曼传记，MacTutor · Harold M. Edwards，Fermat’s Last Theorem（1977）。

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