索菲·热尔曼恒等式：分解看似是素数的数

有些数看起来像素数，其实不是。比如 629，它不是偶数，个位不是 5，也不是 3 的倍数。但 $629=5^4+4$，这个形式出卖了它：它可以用一个以索菲·热尔曼命名的恒等式来分解。

恒等式

对任意数 $a$ 和 $b$，

$$\begin{aligned}a^4+4b^4={}&\left(a^2+2b^2+2ab\right)\\&\times\left(a^2+2b^2-2ab\right).\end{aligned}$$

发现它的诀窍是配方，就像推导二次方程求根公式时那样。$a^4+4b^4$ 差不多就是 $a^2+2b^2$ 的平方，只缺中间项 $4a^2b^2$。把这一项加上再减去，

$$\begin{aligned}a^4+4b^4&=\left(a^4+4a^2b^2+4b^4\right)-4a^2b^2\\&=\left(a^2+2b^2\right)^2-(2ab)^2.\end{aligned}$$

现在它成了两个平方之差，用 $u^2-v^2=(u+v)(u-v)$ 就完成了。

在例子中，取 $a=5$、$b=1$：

$$5^4+4=(25+2+10)(25+2-10)=37\cdot17=629.$$

这个恒等式一下子说明了许多看起来无害的数都是合数。例如，当 $n>1$ 时 $n^4+4$ 总是合数：只要取 $a=n$、$b=1$，两个因数 $n^2+2n+2$ 和 $n^2-2n+2$ 都大于 1。只有 $n=1$ 例外，因为这时第二个因数等于 $1$，而 $1^4+4=5$ 是素数。

一个更令人惊讶的例子来自 2 的幂。数 $2^{10}+1=1025$ 可以写成 $1+4\cdot4^4$，即 $a=1$、$b=4$：

$$2^{10}+1=(1+32+8)(1+32-8)=41\cdot25.$$

对于形如 $2^{4k+2}+1$ 的数，这种分解在 19 世纪被用来拆开巨大的数。1869 年，法国人福蒂内·朗德里手工分解了 18 位数 $2^{58}+1$；不久之后，莱昂-弗朗索瓦-安托万·奥里弗耶指出，用索菲·热尔曼恒等式，第一步拆分只需一行。

练习：分解 3⁴ + 4 · 2⁴ = 145

取 $a=3$、$b=2$：$a^2+2b^2=9+8=17$，$2ab=12$。所以 $145=(17+12)(17-12)=29\cdot5$。

练习：证明对每个大于 1 的奇数 n，n⁴ + 4ⁿ 都是合数

若 $n$ 是奇数，$n=2k+1$，则 $4^n=4\cdot4^{2k}=4\cdot\left(2^k\right)^4$。取 $a=n$、$b=2^k$，恒等式给出

$$\begin{aligned}n^4+4^n={}&\left(n^2+2^{2k+1}+n\,2^{k+1}\right)\\&\times\left(n^2+2^{2k+1}-n\,2^{k+1}\right).\end{aligned}$$

第二个因数等于 $(n-2^k)^2+2^{2k}$，当 $n>1$ 时大于 1。所以这个数是合数。取 $n=545$，就回答了那道奥赛题。（若 $n$ 是偶数，$n^4+4^n$ 是大于 2 的偶数，也是合数。）

资料来源： 索菲·热尔曼传记，MacTutor · Leonard E. Dickson，History of the Theory of Numbers，第 1 卷（1919），关于 $a^n\pm b^n$ 分解的一章。