高斯求积：两点积分

“平方”是计算面积的旧名称。希腊人将圆的面积近似为边数越来越多的多边形，积分微积分诞生了。实际问题是：如何计算曲线下的面积做了很少的数学？

最简单的方法是梯形规则：仅查看曲线的两端，$x = -1$ 和 $x = 1$，并且计算梯形的面积。在 1814 中，高斯问道：如果我可以选择去哪里看怎么办？与两个点 $\pm t$ 和权重等于 1，估计为

$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx f(-t) + f(t).$$

他希望公式能够完全匹配尽可能多的多项式：

寻找高斯点（点击前进）

对于 $f(x) = 1$：面积为 2，公式给出 $1 + 1 = 2$。 ✓ 适用于任何 $t$。
对于 $f(x) = x$（和 $x^3$）：面积为 0，公式给出 $-t + t = 0$。 ✓ 每次都有效。
对于 $f(x) = x^2$：面积为 $\frac{2}{3}$，公式给出 $t^2 + t^2 = 2t^2$。
等式：$2t^2 = \frac{2}{3}$，然后是 $t^2 = \frac{1}{3}$ 和 $t = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577$。
结果：只需两个点，该规则就准确命中到 3 次的任何多项式。

蓝色区域就是准确的区域。比较两个高度为 f(±1/√3) 的高斯矩形和仅查看两端的梯形。

今天，这种方法被称为高斯-勒让德求积法，几乎在每个程序中都可以找到计算积分。这使您能够以图形方式查找曲线下的面积、长度和体积，并视觉上，添加小碎片。