Euler's Eyes
2026-10-10
数学史
第 38 页，共 191 页
方程组：行列式和高斯消元法
为了使用最小二乘法计算轨道，高斯需要求解方程组 许多未知数。每个学生都知道的两个名字都来自这个故事：行列式和 高斯消除。
行列式。 采用具有两个方程的系统：
$$\begin{cases} a\,x + b\,y = e \\ c\,x + d\,y = f \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{e\,d - b\,f}{a\,d - b\,c}, \qquad y = \frac{a\,f - e\,c}{a\,d - b\,c}.$$
这完全取决于分母中的数字 $ad - bc$：如果它不为零，则系统有一个 解决方案。这个数字“决定”了系统。
这个词首次出现在高斯的Disquisitiones中，在1801中。他称之为 决定因素决定二级形式的属性的数字，$ax^2 + 2bxy + cy^2$。 在1815中，法国人 Augustin-Louis Cauchy 采用了该术语并给予认可：
高斯在他的分析研究中充分利用了这个术语，发现了二级形式的一般性质。我会保留这个名字。
— 奥古斯丁·路易斯·柯西，《巴黎综合理工学院杂志》，1815
- 1750Gabriel Cramer 使用我们今天编写的行列式公式来求解系统。
- 1801高斯在Disquisitiones Arithmeticae中使用了单词行列式。
- 1815柯西采用了当今意义上的术语行列式。
- 1841Arthur Cayley 将行列式写在两个竖线之间。
- 1850James Joseph Sylvester 创建了单词矩阵。
高斯消元法。 如果有三个或更多未知数，公式就会变得庞大。高斯路径 这是一次消除一个未知数，直到只剩下一个只有一个未知数的方程。看到与 示例：
$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 11 \\ x + 2y + 3z = 14 \end{cases}$$
逐步消除（点击进阶）
- 从第二个方程中删除 $x$： (2nd) − 2·(1st) 得到 $y - z = -1$。
- 从第三个方程中删除 $x$：(3rd) − (1st) 得到 $y + 2z = 8$。
- 删除$y$：减去两个新方程$(y + 2z) - (y - z) = 8 - (-1)$，即$3z = 9$和**$z = 3$**。
- 向上返回：$y - 3 = -1$ 给出**$y = 2$，$x + 2 + 3 = 6$ 给出$x = 1$**。
- 检查第三个方程：$1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 14$。 ✓
这个方法已经出现在一本有近2000年历史的中国书籍中， 数学艺术九章。 高斯将其组织起来用于天文学计算，至今计算机仍在使用它 解决具有数千个未知数的系统。