Ceres 和最小二乘法

1 月 1 日，1801，天文学家朱塞佩·皮亚齐 (Giuseppe Piazzi) 在巴勒莫发现了一个移动的小点在恒星中：它是谷神星，今天被归类为矮行星。皮亚齐陪伴了他41天，直到消失在阳光的照射下。由于观察如此之少，没有人知道如何计算轨道，而谷神星似乎永远失去了。

高斯在24岁时创造了一种新方法，并在几周内计算出了轨道。在 31 的晚上 12 月 1801，天文学家弗朗兹·冯·扎克 (Franz von Zach) 将望远镜指向高斯指示的位置，结果就在那里谷神星。

动画显示 1801 年：观察到谷神星，谷神星消失在太阳后面，并在该年的最后一天再次被发现。点击“高斯预测”即可查看计算出的轨道。

部分秘密在于处理测量错误。每次观察都会有一个小误差。如果你测量同一件事多次发现不同的值，该选择哪个数字？

高斯的答案：使误差平方和最小的数字$c$。有测量 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，总和是

$$S(c) = (x_1 - c)^2 + (x_2 - c)^2 + \cdots + (x_n - c)^2.$$

打开正方形，$c$ 中出现一个二阶函数：

$$S(c) = n\,c^2 - 2\left(x_1 + x_2 + \cdots + x_n\right) c + \left(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2\right).$$

该图形是一条嘴朝上的抛物线，最低点为顶点，在 $c = -\frac{b}{2a}$：

$$c = \frac{2\left(x_1 + \cdots + x_n\right)}{2n} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}.$$

这是平均值！最小二乘法解释了为什么平均值是最佳估计值。他会 Beyond：用于寻找同时经过最接近多个点的直线（或轨道）。

调整直线使红色方块尽可能小，或者点击“高斯直线”。拖动点以更改数据。