Euler's Eyes
2026-10-15
埃瓦里斯特·伽罗瓦的遗产
这封信，如果按照它所包含的思想的新颖和深刻来评判，也许是人类全部文献中分量最重的一篇文字。
— 赫尔曼·外尔，《对称》（1952）
伽罗瓦留下了大约六十页数学，其中很多是匆忙写成的。人们花了半个世纪才读懂它们。读懂之后，它们改变了人们对数学本身的看法：不再研究数和图形，而是研究使它们保持不变的变换。
群论
第一本关于伽罗瓦理论的书，法国人卡米尔·若尔当的《置换论》，出版于 1870 年。两年后，德国人费利克斯·克莱因在他的埃尔朗根纲领中提出，每一种几何都由它的变换群来定义：欧几里得几何研究在旋转和平移下不变的东西；射影几何研究在投影下不变的东西。阿贝尔的同胞、挪威人索菲斯·李创立了以他命名的连续群，用来研究微分方程，就像伽罗瓦研究代数方程那样。
伽罗瓦的工作与阿贝尔的工作非常相似，但有一个区别。阿贝尔证明了公式不存在。伽罗瓦解释了为什么，而且这个解释同时适用于所有方程。这种谈论运算而非数的新语言的故事，也在本站符号学一书的《伽罗瓦与凯莱》一章中讲述。
自然界中的群
- 物理。 1918 年，德国的埃米·诺特证明，物理定律的每一种对称都对应一个守恒量：时间上的对称给出能量守恒，空间上的对称给出动量守恒。1961 年，默里·盖尔曼用一个叫做 $\mathrm{SU}(3)$ 的群整理了亚原子粒子，并预言了一种当时还没有人见过的粒子，即 1964 年发现的 Ω⁻ 粒子。
- 化学。 晶体中原子排列的对称群恰好有 230 种，于 1891 年完成分类。每一种矿物、每一种金属、每一种结晶的蛋白质都属于其中之一。
- 数论。 1995 年，安德鲁·怀尔斯通过研究与椭圆曲线相关的方程的伽罗瓦群，证明了费马大定理。椭圆曲线正是从阿贝尔的椭圆函数中生长出来的。
- 计算机。 有限域存在于纠错码和密码学之中。
魔群
挡住五次方程公式的那个 60 元群是单群：它不能被切成更小的块。单群是所有有限群的"原子"，找出全部单群是 20 世纪数学最大的工程之一。这项分类于 2004 年完成，由一百多位数学家写成，长达数万页。除了几个无穷族之外，恰好有 26 个零散单群。其中最大的魔群有
$$808\,017\,424\,794\,512\,875\,886\,459\,904\,961\,710\,757\,005\,754\,368\,000\,000\,000$$个元素，约为 $8\times10^{53}$。
留下了什么
- 方程论。 方程的群，以及判定哪些方程可以用根式求解的准则。
- 群论。 “群"这个词本身、正规子群的概念，以及把群分解成若干步骤。
- 有限域。 以他命名的 $p^n$ 元域。
- 几何。 通过旺策尔、克莱因和李，对不可能作图的解释，以及把几何看作对称性研究的思想。
- 科学。 粒子物理、晶体学、密码学和编码。
要点回顾
- 埃瓦里斯特·伽罗瓦生于 1811 年，卒于 1832 年。他的全部工作完成于 17 到 20 岁之间。
- 方程的群由尊重根之间一切成立关系的根的置换构成。
- 群满足封闭性、结合律，有单位元和逆元。三角形的六种对称构成最小的非阿贝尔群。
- 方程可以用根式求解，当且仅当它的群能经过素数指数的正规步骤切开。对于五次方程，那个 60 元群切不开。
- 对每个素数 $p$ 和每个 $n$，都存在一个 $p^n$ 元域。九元域可以用一个模 3 时满足 $i^2=-1$ 的 $i$ 得到。
- 尺规只能作出需要平方根的数。所以立方体不能加倍，$60°$ 角不能三等分。
来源： Peter M. Neumann，The Mathematical Writings of Évariste Galois（2011）· Hermann Weyl，Symmetry（Princeton University Press，1952）· Mark Ronan，Symmetry and the Monster（Oxford University Press，2006）。