1830 年 6 月，18 岁的伽罗瓦在巴黎的一份科学通报上发表了一篇短文《论数论》。在文中，他为一个只有有限多个数的世界发明了新的数，称之为虚数。一个多世纪里，这篇文章看起来只是个奇闻。今天，它就在每一部手机里。

用余数计数

在时钟算术中，我们只用除以某个固定数的余数来计数。用数 5 时，只有 $0, 1, 2, 3, 4$，计算结果会"绕回来"：

$$3+4=7\equiv2,\qquad3\cdot4=12\equiv2\pmod5.$$

看看模 5 的乘法表：

$\times$ 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1

每一行都出现了一个 1。这意味着每个非零的数都有逆元：$2\cdot3\equiv1$，$4\cdot4\equiv1$。可以做除法！只用 5 个数，就有了一套完整的、四则运算俱全的算术，就像有理数一样。这样的结构称为域。

用 6 就不行了。因为 $2\cdot3=6\equiv0$，2 不可能有逆元：如果 $2x\equiv1$，两边乘以 3 就会得到 $0\equiv3$。除以 $n$ 的余数构成一个域，当且仅当 $n$ 是素数。

给三个数的世界一个 i

模 3 时只有 $0, 1, 2$。方程 $x^2+1=0$，即 $x^2\equiv2$，没有解：$0^2=0$，$1^2=1$，$2^2=4\equiv1$。这和实数的情形一样，在实数中 $x^2=-1$ 也没有解。

伽罗瓦做了人们对实数所做的事：发明一个根。他称之为 $i$，满足 $i^2\equiv-1\equiv2$，并考虑所有形如

$$a+bi,\qquad a,b\in\{0,1,2\}$$

的数。一共有 $3\times3=9$ 个数，计算遵循通常的规则，再模 3 化简。例如，

$$(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i.$$

继续算下去，$(1+i)^4=(2i)^2=4i^2=-4\equiv2$，$(1+i)^8=2^2=4\equiv1$。八个幂 $(1+i)^1,\dots,(1+i)^8$ 各不相同，取遍了所有八个非零的数。结果是一个有九个元素的域。

伽罗瓦的定理

伽罗瓦证明了一般情形下同样成立。对每个素数 $p$ 和每个 $n\geq1$，都存在一个恰好有 $p^n$ 个元素的域，它是用一个模 $p$ 无根的多项式的"虚"根构造出来的。而且在每个有限域中，都有一个元素（就像例子中的 $1+i$），它的幂取遍所有非零元素。后来又证明了不存在别的有限域：每个有限域都有 $p^n$ 个元素，元素个数相同的两个域本质上是同一个。为了纪念他，有 $p^n$ 个元素的域称为伽罗瓦域，记作 $\mathrm{GF}(p^n)$。

在手机里

计算机把一切都存储为 8 位的字节，不同的字节共有 $2^8=256$ 个。这恰好是 $\mathrm{GF}(2^8)$ 的元素个数。把每个字节当作这个域的一个元素，就可以对字节做加法、乘法和除法，这为两项技术开辟了道路：

  • 里德–所罗门码（1960 年）在数据中添加一些校验字节，它们是用伽罗瓦域上的多项式计算出来的。如果部分数据丢失，可以用这些方程把它恢复。它们被用于光盘和 DVD（即使有划痕也能继续播放）、二维码（图像损坏 30% 仍可读取）以及与空间探测器的通信。
  • AES，美国政府于 2001 年采用、用于互联网安全连接的加密标准，就是用 $\mathrm{GF}(2^8)$ 中的运算来打乱数据的。
练习：模 7 时，3 的逆元是什么？6 的逆元呢？

我们要找满足 $3x\equiv1\pmod7$ 的 $x$。逐个试，$3\cdot5=15=2\cdot7+1$：3 的逆元是 5。对于 6，$6\cdot6=36=5\cdot7+1$：6 是它自己的逆元。这说得通，因为 $6\equiv-1$，而 $(-1)\cdot(-1)=1$。

练习：在九个元素的域中，计算 (1 + i)(2 + i)。

$(1+i)(2+i)=2+i+2i+i^2=2+3i-1=1+3i$。由于 $3\equiv0$，结果是 $1$。所以 $2+i$ 是 $1+i$ 的逆元：在这个九个数的世界里，$\frac1{1+i}=2+i$。

来源： Évariste Galois，“Sur la théorie des nombres”，Bulletin des sciences mathématiques de M. Férussac 13（1830）· Rudolf Lidl、Harald Niederreiter，Finite Fields（Cambridge University Press，1997）· Irving Reed、Gustave Solomon，“Polynomial codes over certain finite fields”，Journal of the SIAM 8（1960）。

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