希腊人留下了三个作图问题，没有人能用尺规解决，而尺规正是欧几里得《几何原本》的工具：

  1. 倍立方：作出一个立方体的棱，使它的体积是已知立方体的两倍。
  2. 三等分角：把任意一个角分成三等份。
  3. 化圆为方：作出一个与已知圆面积相等的正方形。

传说在一场瘟疫中，提洛斯的神谕命令雅典人把阿波罗的立方体祭坛加大一倍。他们把棱长加倍，体积变成了八倍，瘟疫依旧。两千年来，数学家们一直在尝试。答案直到 19 世纪才随着高斯和伽罗瓦的思想到来：这是不可能的。

尺规能做什么

从一条长为 1 的线段出发。用尺规可以利用相似三角形对长度做加、减、乘、除。还可以开平方根，方法是在半圆中取几何平均。但仅此而已。

原因在解析几何中。作图中的每个新点，都是两条直线、一条直线与一个圆，或者两个圆的交点。直线的方程是一次的，圆的方程是二次的。求这些交点从来不需要比二次方程更高的方程。所以作图的每一步至多添加一个平方根：

用尺规可作的长度，可以从 1 出发用四则运算和平方根写出。特别地，如果它是一个没有有理因式的方程的根，那么这个方程的次数是 2 的幂。

提洛斯的立方体

把棱长为 1 的立方体加倍，就是作出体积为 2 的立方体的棱 $x$：

$$x^3=2,\qquad x=\sqrt[3]2\approx1.2599.$$

方程 $x^3-2=0$ 没有有理根，也不能分解为更低次的有理多项式。它的次数是 3，不是 2 的幂。因此 $\sqrt[3]2$ 不可作。提洛斯的祭坛不能用尺规加倍。

60° 的角

有些角很容易三等分：直角可以分成三个 $30°$ 的角，而 $30°$ 可以用正三角形作出。但问题要求的是对任意角都适用的方法，一个反例就够了。取 $60°$。三等分它就是作出 $20°$，即长度 $x=\cos20°$。由三倍角的余弦公式

$$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta,$$

取 $\theta=20°$，$\cos60°=\frac12$：

$$4x^3-3x=\frac12\qquad\Longrightarrow\qquad8x^3-6x-1=0.$$

可能的有理根只有 $\pm1,\pm\frac12,\pm\frac14,\pm\frac18$，而它们都不满足方程。所以方程不能分解，次数为 3。$60°$ 角不能用尺规三等分。

旺策尔与伽罗瓦

这两个证明都是在 1837 年由 23 岁的法国人皮埃尔·旺策尔发表在刘维尔的杂志上的，他当时是巴黎综合理工学院的学生。旺策尔用的是高斯和拉格朗日的思想；伽罗瓦的著作要再过九年才出版。今天，这个论证用伽罗瓦理论来解释：方程的次数衡量的是它的根所创造的数的世界的大小，而尺规只能两级两级地往上爬。

第三个问题更难。把半径为 1 的圆化为方，就是作出 $\sqrt\pi$。1882 年，德国人费迪南德·冯·林德曼证明，$\pi$ 不是任何有理系数方程的根：它是一个超越数。于是，圆也不能化为方。

练习：正七边形能用尺规作出吗？

不能。数 $x=\cos\frac{2\pi}7\approx0.6235$ 是 $8x^3+4x^2-4x-1=0$ 的根。可能的有理根是 $\pm1,\pm\frac12,\pm\frac14,\pm\frac18$，没有一个满足：例如在 $x=\frac12$ 处，多项式等于 $1+1-2-1=-1$。所以方程不能分解，次数为 3，$\cos\frac{2\pi}7$ 不可作。

练习：三倍角方程也是三次的，为什么 90° 的角却可以三等分？

当 $\cos90°=0$ 时，方程变为 $4x^3-3x=0$，它可以分解：$x(4x^2-3)=0$。我们要的根 $x=\cos30°=\frac{\sqrt3}2$ 来自一个二次方程，而平方根是可作的。只有当三次方程不能分解时，问题才不可能，比如 $60°$ 的情形。

来源： Pierre Wantzel，“Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas”，Journal de mathématiques pures et appliquées 2（1837）· Ian Stewart，Galois Theory（CRC Press，第 4 版，2015）· Felix Klein，Famous Problems of Elementary Geometry（1897）。

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