费马与帕斯卡：公平分配中断的赌局

两个玩家各下相同的赌注，玩一场多局的游戏：谁先赢得规定的局数，谁就拿走全部赌注。游戏进行到一半，不得不中断。钱该怎样公平地分配？

这就是点数问题（分赌注问题）。它看起来简单，却难倒了数学家 150 多年。

错误的答案

1494 年，意大利修士卢卡·帕乔利提出按已赢局数的比例分配。如果 A 赢了 2 局、B 赢了 1 局，A 就拿走 $\frac23$。

听起来合理，其实不然。设想一场先赢 100 局者胜的游戏，在 A 以 1 比 0 领先时中断。按帕乔利的规则，A 拿走全部赌注。可游戏才刚开始，B 获胜的机会几乎一样大。重要的不是已经发生了什么，而是还可能发生什么。

这个问题经由法国贵族、嗜好赌博的德·梅雷骑士传到了布莱兹·帕斯卡手中。帕斯卡写信给图卢兹的费马，1654 年夏天两人往来了一系列书信。他们各自用不同的方法找到了答案：帕斯卡用逐步倒推的推理，费马则列举所有可能情况。

当帕斯卡看到两种方法给出同样的答案时，他写道：

我清楚地看到，真理在图卢兹和在巴黎是一样的。
— 布莱兹·帕斯卡致费马的信（1654 年 7 月 29 日）

假设每一局就像抛硬币：每个玩家赢这一局的机会都是 $\frac12$。游戏中断时，A 还差 1 局，B 还差 2 局。

费马这样推理：最多再过两局，一定有人获胜。于是我们设想两局都打完，即使第一局已经决出胜负。所有可能的结果（概率都相同）是：

A 在 4 种情况中赢 3 种；B 赢 1 种。概率为

$$P(A)=\frac34,\qquad P(B)=\frac14.$$

如果奖金是 80 枚金币，公平的分法是 A 得 60，B 得 20。

等一下：在“A A”和“A B”中，游戏在第一局就结束了。为什么还要算第二局？因为在结束之后再多打一局并不改变胜者，而这个技巧让所有情况长度相同、概率相等，计数就容易了。

A 还需赢的局数： B 还需赢的局数：

改变剩余所需胜局数。控件在各局独立、双方机会均等的条件下列举计数。

如果 A 还差 $a$ 局、B 还差 $b$ 局，那么最多 $a+b-1$ 局就能决出胜负。费马列出所有 $2^{a+b-1}$ 种可能的序列，数出其中 A 至少赢 $a$ 局的个数。这种计数用到了算术三角形中的数，而帕斯卡当时正在研究它。帕斯卡的方法见帕斯卡专题。

1654 年以前，没有人用严肃的数学来对待机会。帕斯卡和费马的通信引入了期望值的思想：每个玩家“应得”的，是奖金乘以他获胜的机会。今天的保险、投资以及一切涉及风险的决策，背后都是同样的思想。

练习：双方都只差一局。80 枚金币该怎么分？

下一局决定一切，每人机会都是 $\frac12$。公平的分法是每人 40 枚。

练习：A 还差 1 局，B 还差 3 局。80 枚金币该怎么分？

最多 3 局就能决出胜负。在 $2^3=8$ 种序列中，B 只在 BBB 时获胜。所以 $P(A)=\frac78$，$P(B)=\frac18$：A 得 70 枚，B 得 10 枚。

资料来源： 费马传记，MacTutor · 帕斯卡传记，MacTutor。