费马原理：光走最快的路

一名救生员站在沙滩上，看到有人在远处偏向一侧的海里溺水。救生员该走哪条路？直线是最短的路，却不是最快的：在沙滩上跑要比在水里游快得多。多在沙滩上跑一段，少游一段，反而划算。

费马意识到，光做的正是这样的选择。

反射：最短路径

最古老的想法与镜子有关。公元 1 世纪，亚历山大的希罗就已注意到，光在反射时，走的是经过镜面连接两点的最短路径。

我们用导数来验证。光源 $S$ 在镜面上方高 $a$ 处，眼睛 $T$ 在高 $b$ 处，两者的水平距离为 $\ell$。光在点 $M$ 处射到镜面上，$M$ 到 $S$ 的垂足距离为 $x$。

路径 $S\to M\to T$ 的长度为

$$P(x)=\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}.$$

在最小值处，导数为零：

$$P'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}-\frac{\ell-x}{\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}=0.$$

每个分式都是一个角的正弦：$\dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$ 是入射角 $\hat i$（从镜面的法线量起）的正弦，$\dfrac{\ell-x}{\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}$ 是反射角 $\hat r$ 的正弦。因此

$$\sin\hat i=\sin\hat r\qquad\Longrightarrow\qquad\hat i=\hat r.$$

这就是反射定律：入射角等于反射角。

在反射中，光始终在同一种介质里，最短的路径也是最快的路径。但光从空气进入水中时会改变方向。弯折的路径比直线长。光为什么要这样做？

1662 年，费马给出了答案：光走的不是最短的路，而是最快的路。如果光在水中走得更慢，那么在空气中多走一段距离就是划算的，就像沙滩上的救生员。

设光在第一种介质中的速度为 $v_1$，在第二种介质中为 $v_2$。距离与前面相同，只是现在点 $T$ 在界面下方，总时间为

$$t(x)=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}{v_2}.$$

求导并令其为零：

$$\frac{x}{v_1\sqrt{x^2+a^2}}=\frac{\ell-x}{v_2\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}.$$

认出其中与法线夹角的正弦：

$$\frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{\sin\theta_2}{v_2}\qquad\text{或}\qquad\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{v_1}{v_2}.$$

这就是中学里学的折射定律——斯涅尔定律。如果光在第二种介质中更慢（$v_2

费马原理第一次通过“自然在优化某种东西”来解释一个物理现象。这个思想大获成功。18 世纪，莫佩尔蒂、欧拉和拉格朗日提出了适用于整个力学的最小作用量原理。如今，这类原理处于现代物理的核心，从相对论到量子力学都是如此。

一个技术性的修正：在某些情况下，比如某些曲面镜，光走的是时间最长或时间“驻定”的路径，而不是最短的。所以今天的物理学说光程时间是驻定的：导数为零，就像费马自己的极值方法一样。

练习：如果光在两种介质中的速度相同，光线会改变方向吗？

不会。$v_1=v_2$ 时 $\sin\theta_1=\sin\theta_2$，所以 $\theta_1=\theta_2$：光线沿直线前进。

练习：光从空气射入水中，在水中的速度是空气中的 3/4。若 θ₁ = 30°，sin θ₂ 是多少？

$\sin\theta_2=\sin\theta_1\cdot\dfrac{v_2}{v_1}=0.5\cdot\dfrac34=0.375$，$\theta_2\approx22°$。光线向法线偏折。

资料来源： 费马传记，MacTutor。