费马与解析几何：方程中的曲线

将近两千年里，几何与代数各自为政。希腊几何用直尺、圆规和图形工作；经阿拉伯人传入欧洲的代数则用方程工作。17 世纪初，有两个人在同一时间、互不商量地想到了把它们结合起来：勒内·笛卡儿和皮埃尔·德·费马。

开创一个领域的一句话

大约 1636 年，费马用拉丁文写了一篇短文《平面与立体轨迹引论》。“轨迹”是希腊人对满足某个条件的点的集合的称呼，比如圆，就是到圆心距离固定的点的轨迹。文章一开头，费马写道：

每当在最终方程中出现两个未知量时，我们就得到一条轨迹，其中一个未知量的端点描出一条直线或曲线。
— 费马，《平面与立体轨迹引论》

换句话说：一个含两个未知数的方程就是一条曲线。每个解 $(x,y)$ 是一个点，所有的解合在一起构成一幅图。

费马沿用韦达的写法，用元音字母表示未知数，用辅音字母表示已知数。直线被写成 “D in A aequetur B in E”，用今天的记号就是

$$D\cdot x=B\cdot y.$$

解出 $y$：$y=\dfrac DB\,x$。这是一条过原点、斜率为 $\dfrac DB$ 的直线。费马证明了：关于 $x$ 和 $y$ 的每个一次方程都表示一条直线，每个二次方程都表示一条圆锥曲线：抛物线、椭圆、双曲线或圆。

考虑坐标满足下式的点：

$$y=x^2.$$

$x=-2$ 时 $y=4$；$x=0$ 时 $y=0$；$x=2$ 时 $y=4$。描出许多点，就出现一条抛物线。方程的作用远不止生成一张表：不用画图，它就能告诉我们一个点是否在曲线上。点 $(3,9)$ 在，因为 $9=3^2$；点 $(2,5)$ 不在，因为 $5\neq2^2$。

当我们想知道两个图形在哪里相交时，巨大的优势就显现出来了。用尺规作图，这可能非常困难；用方程，只需要求这个点同时满足两个方程。

抛物线 $y=x^2$ 与直线 $y=2x+3$ 在哪里相交？令两者相等：

$$x^2=2x+3\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-2x-3=0\quad\Longleftrightarrow\quad(x-3)(x+1)=0.$$

解为 $x=3$ 和 $x=-1$，交点是 $(3,9)$ 和 $(-1,1)$。一个几何问题变成了一个二次方程。

有了解析几何，任何曲线都可以用代数来研究，任何方程都可以看成一幅图。这是通向微积分的第一步：要谈论曲线的切线或曲线下的面积，首先得把曲线写成方程。费马很快迈出了下一步，那就是他的极大值与极小值方法。

可以对照笛卡儿专题，那里讲述了这个故事的另一半。

练习：抛物线 y = x² 与直线 y = 4 在哪里相交？

$x^2=4$ 得 $x=2$ 或 $x=-2$。交点为 $(2,4)$ 和 $(-2,4)$。

练习：直线 y = 2x − 1 与抛物线 y = x² 有几个公共点？

$x^2=2x-1$ 即 $x^2-2x+1=(x-1)^2=0$。只有一个解 $x=1$：直线只在一点 $(1,1)$ 处与抛物线接触。它就是抛物线在该点的切线。

资料来源： 费马传记，MacTutor。