Euler's Eyes
2026-10-14
狭义相对论：用光做的钟
如果我以速度 c（真空中的光速）追赶一束光，我应当看到这束光是一个在空间中振荡着的静止电磁场。可是，似乎并不存在这样的东西。
— 阿尔伯特·爱因斯坦，《自述》（1949）
16 岁时，在阿劳的中学里，爱因斯坦问了自己一个问题：如果我以同样的速度在一束光旁边奔跑，我会看到什么？按照牛顿的物理学，光看起来会是静止的，就像公路上与我们并排行驶的汽车。但 麦克斯韦 的方程不允许静止的光：在这些方程里，光总是以 $c\approx300\,000$ km/s 传播。总有一方错了。爱因斯坦花了十年才弄清是哪一方。
两条公设
1905 年 6 月，爱因斯坦把论文《论动体的电动力学》寄给了《物理学年鉴》。他从两条假设出发：
- 对所有做匀速运动的观察者，物理定律都相同。 在一列平稳行驶的火车里，在车厢内做的任何实验都无法判断火车是静止还是在运动。
- 对所有这些观察者，真空中的光速都相同，都是 $c$，不论光源或观察者如何运动。
第二条看似无害，其实令人震惊。如果你以 100 000 km/s 的速度追赶一束光，你测得那束光离你而去的速度仍然是 300 000 km/s。要让这成为可能，必须有什么东西让步。爱因斯坦证明，让步的是 时间。
光钟
设想一座钟，由两面相距 $L$ 的平行镜子构成，一个光脉冲在两镜之间来回反射。每往返一次就是一个"嘀嗒"。对站在钟旁边的人来说，一个嘀嗒持续
$$\Delta\tau=\frac{2L}{c}.$$现在把钟放进一列以速度 $v$ 从你身边驶过的火车。对站在站台上的你来说，光不是竖直地上下走：在光从一面镜子走到另一面镜子的过程中，火车向前开了，光走的是一条斜线，更长。
如果你测得一个嘀嗒持续 $\Delta t$，那么在半个嘀嗒里，光走了 $c\frac{\Delta t}2$，火车走了 $v\frac{\Delta t}2$。高度仍是 $L$。由 毕达哥拉斯定理，
$$\left(\frac{c\,\Delta t}2\right)^2=L^2+\left(\frac{v\,\Delta t}2\right)^2.$$因为 $L=\frac{c\,\Delta\tau}2$，代入并把各项除以 $\frac{c^2}4$：
$$\Delta t^2=\Delta\tau^2+\frac{v^2}{c^2}\Delta t^2\quad\Longrightarrow\quad \Delta t^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)=\Delta\tau^2.$$于是得到 时间膨胀 公式：
$$\boxed{\Delta t=\gamma\,\Delta\tau,\qquad \gamma=\frac1{\sqrt{1-v^2/c^2}}.}$$数 $\gamma$ 称为 洛伦兹因子，总是大于 1。对你来说，火车上的钟走得慢。而由于任何钟——心脏、原子——都必须与光钟一致，否则乘客就会发现自己在运动，所以是火车上的时间本身流逝得更慢。
| 速度 | $\gamma$ | 火车上的 1 秒在站台上持续 |
|---|---|---|
| 300 km/h | $1.00000000000004$ | 1 秒 |
| $0.6c$ | $1.25$ | 1.25 秒 |
| $0.8c$ | $1.67$ | 1.67 秒 |
| $0.99c$ | $7.09$ | 7.09 秒 |
日常生活中 $\gamma$ 极其接近 1，效应根本看不出来。只有接近光速时它才显现。
回来时更年轻的宇航员
一位宇航员以 $0.8c$ 飞往一颗恒星再返回。按飞船上的钟，旅程持续 6 年。在地球上则过去了
$$\Delta t=\frac{6}{\sqrt{1-0.8^2}}=\frac6{0.6}=10\ \text{年}.$$回来时，宇航员比留在地球的双胞胎兄弟年轻 4 岁。这看起来像个悖论，因为从飞船的角度看，是地球在运动。区别在于宇航员 掉了头，加速并改变了参考系；地球上的兄弟没有。这两种情况并不对称，仔细计算总得到同样的结果：旅行的人老得慢。
抵达地面的μ子
这不是科幻。宇宙射线撞击大气，在约 10 千米高处产生一种叫作 μ子 的粒子，它们平均只存活 $2.2$ 微秒就衰变，速度为 $0.998c$。按牛顿物理学，它们平均只能走
$$0.998\cdot3\times10^8\ \text{m/s}\cdot2.2\times10^{-6}\ \text{s}\approx660\ \text{m},$$几乎没有一个能到达地面。可是它们成千上万地到达，每分钟落在每平方米上。当 $v=0.998c$ 时，$\gamma\approx15.8$：对我们来说，μ子内部的钟慢了将近 16 倍，它活了大约 35 微秒，平均走了大约 $10.4$ 千米。时间膨胀在 1941 年就是这样测出来的，后来又在粒子加速器里和用飞机携带原子钟得到了精确证实。
长度缩短
既然时间会变，距离也会变。对自认为静止的μ子来说，是大气层朝它冲过来，10 千米厚的大气层缩短为原来的 $1/\gamma$，只有约 630 米：来得及穿过。一般地，一个静止时长度为 $L_0$ 的物体，被看着它以速度 $v$ 经过的人测量时，在运动方向上的长度为
$$\boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$这就是 洛伦兹收缩。一辆以 300 km/h 行驶的 3 米长汽车缩短约 $10^{-13}$ 米，比原子还小。一艘以 260 000 km/s 即 $0.867c$ 飞行的 100 米长飞船，$\gamma\approx2.01$，看起来只有约 50 米。
练习：最近的恒星半人马座α距离 4.37 光年。以 0.8c 飞去，对地球和对宇航员来说各用多长时间？
对地球来说，飞船以每年 0.8 光年的速度走 4.37 光年：$\frac{4.37}{0.8}\approx5.46$ 年。对宇航员来说，时间要除以 $\gamma=\frac53$：$5.46\cdot0.6\approx3.28$ 年。从宇航员的角度看，距离缩短为 $4.37\cdot0.6\approx2.62$ 光年，用 $\frac{2.62}{0.8}\approx3.28$ 年走完：两种算法一致。
练习：钟要以多快的速度运动，才会只走站台时间的一半？
要求 $\gamma=2$，即 $\sqrt{1-v^2/c^2}=\frac12$。平方得 $1-\frac{v^2}{c^2}=\frac14$，所以 $v=\frac{\sqrt3}2c\approx0.866c$，约 260 000 km/s。这正是上面例子中那艘缩短一半的飞船的速度。
来源： Albert Einstein，“论动体的电动力学”，Annalen der Physik 17（1905），收入 John Stachel 编《爱因斯坦奇迹年》· Bruno Rossi 与 David B. Hall，“Variation of the rate of decay of mesotrons with momentum”，Physical Review 59（1941）· Einstein Online，狭义相对论。
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