符号规则 | Euler's Eyes

多项式可以有多少个正根？笛卡尔给出了一个简单的规则： 根数正数至多是连续系数之间的符号变化次数 （并且，正如所证明的然后与它相差偶数）。

请参阅$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$。系数的符号为$+\ -\ +\ -$：三个变化。所以有 3 或 1 正根。实际上，

$$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3),$$

根为 1、2 和 3。

对于负根，将$x$更改为$-x$并再次计数： $(-x)^3 - 6(-x)^2 + 11(-x) - 6 = -x^3 - 6x^2 - 11x - 6$。迹象都是负面的：无交换，无负根。

又如：在$x^3 + x - 2$中，$+\ +\ -$信号只有一次交换。差异有多大甚至，正好有一个正根，而且很容易找到：$x = 1$。

测试下面三个多项式的规则。金色箭头标记每个信号变化：

正根为金色，负根为紫色。最后一个多项式在 p(x) 中交换了 2，在 p(−x) 中交换了 2。