​​Geometry的大思想是给平面上的每个点一对数字。我们选择两条线 垂线（轴），并且点通过距它们的距离 $x$ 和 $y$ 定位。今天 我们称之为[笛卡尔平面](/cn/posts/basic/inteiro/funcoes/planocartesiano/），在 向他致敬（Cartesius 是笛卡尔的拉丁名字）。

有了坐标，图形就变成了方程。请看三个例子。

来自*几何图形* (1637) 的页面。字母 a、b 表示已知值，幂写在顶部。
来自几何图形 (1637) 的页面。字母 a、b 表示已知值，幂写在顶部。勒内·笛卡尔·公共领域

两点之间的距离。 点 $P = (x_1, y_1)$ 和 $Q = (x_2, y_2)$ 组成，其中 点 $(x_2, y_1)$，直角三角形的边 $x_2 - x_1$ 和 $y_2 - y_1$。由定理 毕达哥拉斯：

$$d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$$
拖动P和Q：三角形的边为Δx和Δy，距离来自毕达哥拉斯定理。

圆。 以 $(a, b)$ 为圆心、以 $r$ 为半径的圆是一组点， 距中心的距离为 $r$。使用上面的公式并平方：

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.$$

**直线与圆相切的位置。**在希腊几何中，这需要使用以下构造 尺子和指南针。用笛卡尔的思想，解决一个系统就足够了。对于圆周 $x^2 + y^2 = 25$ 和直线 $y = x + 1$：

$$\begin{aligned} x^2 + (x + 1)^2 &= 25 \\ 2x^2 + 2x - 24 &= 0 \\ x^2 + x - 12 &= 0 \\ (x + 4)(x - 3) &= 0. \end{aligned}$$

交汇点为 $(3, 4)$ 和 $(-4, -3)$。检查：$3^2 + 4^2 = 25$和$(-4)^2 + (-3)^2 = 25$。

改变线条，看看代数遵循几何。当 2 次方程的 $\Delta$ 变为 负数，直线经过圆外：

直线 y = x + b 和圆 x² + y² = 25。当 b = 1 时，点为 (3; 4) 和 (−4; −3)。

**三行证明。**平行四边形的对角线互相平分。放置一个 原点处的顶点：顶点为 $O = (0, 0)$、$A = (a, 0)$、$B = (b, c)$ 和 $C = (a + b, c)$。氧 对角线 $OC$ 的中点是 $\left(\frac{a+b}{2}, \frac{c}{2}\right)$。对角线的中点 $AB$ 是 $\left(\frac{a+b}{2}, \frac{c}{2}\right)$。由于是同一个点，所以对角线互相切割 中间。不需要花哨的图画：只需珠子。

拖动A和B：无论什么平行四边形，黄金点同时在两条对角线的中间。

皮埃尔·德·费马同时独立地得出了同样的想法，但没有发表。两人 他们成为竞争对手，甚至通过书信互相挑战。

勒内·笛卡尔的所有主题 · ← 笛卡尔的一生 · 用直尺和圆规求平方根 →

图片来源和来源.