Euler's Eyes
2026-10-10
数学史
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接吻圈定理
在1643给伊丽莎白公主的信中，笛卡尔两两处理了四个相切圆。 将圆的曲率称为半径的倒数，$k = \frac{1}{r}$。该定理说 曲率满足
$$(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2\left(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2\right).$$
应用： 半径为 1 的三个相等的硬币两两接触。适合的圆的半径是多少 他们之间有洞？对于 $k_1 = k_2 = k_3 = 1$ 和 $k_4 = k$：
$$\begin{aligned} (3 + k)^2 &= 2(3 + k^2) \\ 9 + 6k + k^2 &= 6 + 2k^2 \\ k^2 - 6k - 3 &= 0 \\ k &= 3 \pm 2\sqrt{3}. \end{aligned}$$
- 带符号$+$：$k = 3 + 2\sqrt{3} \approx 6{,}46$，即半径$\approx 0{,}155$。就是中间那个小圆圈。
- 带有符号$-$：$k = 3 - 2\sqrt{3} \approx -0{,}46$。负曲率表示圆 涉及其他三个，半径为$\approx 2{,}155$。
检查几何形状：硬币的中心形成一条 等边三角形 边 2，其中心 距离每个顶点为 $\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}155$。中间的圆有半径 $1{,}155 - 1 = 0{,}155$，并且围绕一切的半径为$1{,}155 + 1 = 2{,}155$。账单加起来。