多面体的角度和欧拉公式

在立方体的一个顶点有三个正方形，它们的角度相加。 $3 \times 90° = 270°$。还剩 $90°$ 圈才能完成一圈：这是顶点的缺陷。由在 1630 左右，笛卡尔发现，在凸多面体中，所有缺陷的总和顶点始终为 720°。

多面体	顶点处的角度	缺点	顶点	和
四面体	3 × 60° = 180°	180°	4	720°
立方体	3 × 90° = 270°	90°	8	720°
八面体	4 × 60° = 240°	120°	6	720°
十二面体	3 × 108° = 324°	36°	20	720°
二十面体	5 × 60° = 300°	60°	12	720°

围绕顶点的面，在平面中打开。红色切片是缺陷，完成时剩下的角度360°。

手稿已经丢失了几个世纪。它之所以能幸存下来，是因为莱布尼茨将文本复制到了 1676 中，并且十九世纪才发现一份副本。现在令人惊讶的是：从这个定理得出公式 $V - A + F = 2$，我们在Euler.

边长为 $n$ 的面的内角之和为 $(n - 2) \cdot 180°$。加上所有边，并记住每条边都是两个面的一条边（因此所有面的 $n$ 之和为 $2A$）：

$$\text{soma de todos os ângulos das faces} = (2A - 2F) \cdot 180° = (A - F) \cdot 360°.$$

总缺陷是每个顶点的 $360°$ 减去该总和：

$$720° = 360° \cdot V - 360° \cdot (A - F) = 360° \cdot (V - A + F) \;\Longrightarrow\; V - A + F = 2.$$

换句话说，笛卡尔在一个多世纪前就已经掌握了相当于以下公式的结果：欧拉。他只是没有写出最终的法案。

旋转十二面体：20 个缺陷顶点各为 36°，20 × 36° = 720°。