15 章中的练习 — 任何三角形

已知$\operatorname{sen}(180^{\circ} - x) = \operatorname{sen}x$和$\cos(180^{\circ} - x) = -\cos x$，确定： a) $\operatorname{sen}120^{\circ}$； b) $\cos 150^{\circ}$； c) $\cos 135^{\circ}$； d）$\operatorname{sen}150^{\circ}$； e) $\operatorname{sen}135^{\circ}$； f) $\cos 120^{\circ}$。

在以下情况下确定$x$的值：

在下列情况下确定三角形外接圆的半径：

在以下情况下获取$x$的值： a) $ABCD$是平行四边形； b) $ABCD$ 是等腰梯形。

确定以下情况下的角度 $x$：

在三角形 $ABC$ 中，给出 $\hat A = 60^{\circ}$、$\hat B = 45^{\circ}$ 和 $BC = 4$ cm。确定 $\overline{AC}$ 的测量值。

在钝角和等腰三角形中，每个底角的尺寸为 30°。确定三角形的底边，已知每条全等边的尺寸为 10 厘米。

三角形 $ABC$ 是钝角三角形，其中 $\hat A = 120^{\circ}$、$BC = 2\sqrt{3}$ dm 和 $AC = 2$ dm。确定该三角形顶角 $B$ 的尺寸。

如果三角形 $ABC$ 的边长为 $a$、$b$ 和 $c$，请证明

其中 $A$ 和 $B$ 是三角形顶点 $A$ 和 $B$ 的角度，$a$、$b$ 和 $c$ 分别是与顶点 $A$、$B$ 和 $C$ 相对的边。

在之前的同一练习中，证明 $\dfrac{a - b}{b} = \dfrac{\operatorname{sen}A - \operatorname{sen}B}{\operatorname{sen}B}$。

设 $a$、$b$ 和 $c$ 为三角形 $ABC$ 的顶点 $A$、$B$ 和 $C$ 的对边。证明$\dfrac{\operatorname{sen}A + \operatorname{sen}B}{\operatorname{sen}C} = \dfrac{a + b}{c}$。

在以下情况下确定$x$的值：

在下列情况下确定$x$和$y$：

在以下情况下，计算相对于边 $\overline{BC}$ 的高度 $h$：

在以下情况下确定$x$的值：

在下列情况下确定角度的测量值 $x$：

如果图中平行四边形的对角线为20厘米和32厘米并形成60°角，请确定平行四边形的边。

认识三角形的性质： a) 其边长为 6、12 和 13； b) 边长为 6、10 和 12； c) 边长为 5、12 和 13； d) 其边的比例为 3 : 4 : 4,5； e) 其边与3、4和6成反比。

认识三角形的性质，其边长与数字 3、4 和 5 成反比。

三角形的边长为 15 米、20 米和 25 米。确定相对于最长边的高度。

三角形的边长为 12 米、20 米和 28 米。确定最小值在 20 m 边直线上的投影。

三角形的边长为 7 米、24 米和 25 米。确定相对于短边的高度。

确定锐角三角形 $ABC$ 的边 $\overline{BC}$，其中 $AC = 7$ cm、$AB = 5$ cm 以及 $\overline{AC}$ 在 $\overline{AB}$ 上的投影测量为 1 cm。

确定三角形 $ABC$ 的边 $\overline{AB}$ 的尺寸，在 $A$ 处形成钝角，其中 $BC = 8$ cm、$AC = 5$ cm 以及边 $\overline{AB}$ 在 $\overline{AC}$ 上的投影等于 3 mm。

确定三角形 $ABC$ 的边 $\overline{BC}$ 的尺寸，其中 $AC = 10$ cm、$AB = 6$ cm 以及边 $\overline{BC}$ 在 $\overline{AC}$ 上的投影值为 10,4 cm。

三角形的底边尺寸为 10 厘米，另外两条边的尺寸分别为 14 厘米和 8 厘米。确定这两条边在三角形底面上的投影。

确定三角形 $ABC$ 的边 $\overline{BC}$ 到边 $\overline{AC}$ 的投影，其中 $BC = 12$ cm、$AC = 16$ cm 和 $AB = 18$ cm。

在三角形 $ABC$ 中，是否可以同时具有 $a^2 = b^2 + c^2 + 2bm$ 和 $c^2 = b^2 + a^2 + 2bn$，其中 $m$ 是 $c$ 在 $b$ 上的投影，$n$ 是 $a$ 在 $b$ 上的投影？证明合法。

图中，计算$x$的值。

在图中的三角形$ABC$中，边$\overline{AB}$的尺寸为12cm，边$\overline{BC}$的尺寸为9cm，边$\overline{AC}$的尺寸为6cm。计算角度 $\alpha$ 的余弦。

计算图中三角形的周长。

计算图中三角形$ABC$的周长。

确定 $x$ 的值，已知 $x + 5$、$3 - x$ 和 $x + 7$ 是三角形 $ABC$ 的边 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$ 和 $\overline{AC}$ 的测量值，其角 $\hat B$ 等于 120°。

测量值 $\ell$ 的弦 $\overline{AB}$ 确定圆上 120° 的弧。确定从点 $B$ 到该圆直径 $\overline{AC}$ 的距离。

图中，$\overline{AB}$等于中心圆的半径$O$，$BC = 26$和$\overline{BH}$垂直于$\overline{AC}$。计算$HC$。

确定平行四边形的最长对角线，其中两条连续边形成 45° 角，并分别测量 $5\sqrt{2}$ 厘米和 10 厘米。

已知平行四边形的连续边的尺寸为 4 厘米和 5 厘米，其中一条对角线的尺寸为 6 厘米，请确定另一条对角线的尺寸。

平行四边形的两个连续边的尺寸为 8 米和 12 米，并形成 60° 角。计算对角线。

三角形 $ABC$ 的中线 $\overline{AM}$ 为 6 厘米，将其对边分成等于 12 厘米的两段，并与该边形成两个相差 60° 的角。确定这个三角形的边长。

是否存在一个三角形 $ABC$，使得 $BC = 10$ cm、$AC = 1$ cm 和 $\beta = 30^{\circ}$，其中 $\beta$ 是与边 $\overline{AC}$ 相对的角？

平行四边形的两个连续边的尺寸为 $a$ 和 $b$，其中一条对角线的尺寸为 $c$。确定另一条对角线的长度。

证明：“在任何三角形中，锐角对边的平方等于另外两条边的平方和，减去其中一条边与另一条边在其上的投影的乘积的两倍。”

证明：“在钝角三角形中，钝角对边的平方等于另外两条边的平方和，加上其中一条边与另一边在其上的投影的乘积的两倍。”

如果在三角形中，一条边的平方等于另外两条边的平方和减去这两条边的乘积，则计算相同两条边形成的内角。

在边长为 6 cm、$6\sqrt{3}$ cm 和 12 cm 的三角形 $ABC$ 矩形的边上，我们构造三个外部正方形。计算由这些正方形的中心确定的三角形边的长度。

四边形 $ABCD$ 的边的尺寸为 $AB = BC = 10$ m、$CD = 16$ m 和 $AD = 6$ m。确定$BD$。

等边三角形 的内点距三角形顶点的距离为 5 cm、7 cm 和 8 cm。确定这个三角形的边。

看书上的解决办法

1. 考虑具有 $BQ = 5$ 和 $CQ = 7$ 的三角形外部的点 $Q$。请注意 $\triangle PBA \equiv \triangle QBC$ (LLL)，它给出 $P\hat BQ = 60^{\circ}$。因此 $\triangle PBQ$ 是 等边 和 $B\hat PQ = 60^{\circ}$ ($\alpha = 60^{\circ}$)。
2. 对 $\triangle PQC$（边数 5、7 和 8）应用余弦定理：我们得到 $\beta = 60^{\circ}$。
3. 与$\alpha = 60^{\circ}$和$\beta = 60^{\circ}$、$B\hat PC = 120^{\circ}$。对$\triangle BPC$应用余弦定理：$x^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cos 120^{\circ} = 129$，即$x = \sqrt{129}$cm。

应用中值公式确定三角形 $ABC$ 的中值 $\overline{AM}$ 的测量值，然后使用斯图尔特关系进行计算。

应用内部 角平分线 公式确定 角平分线 $\overline{AS}$ 的度量，然后使用 角平分线 定理和斯图尔特关系进行计算。

应用 角平分线 公式确定 $\triangle ABC$ 的 $\overline{AP}$ 之外的 角平分线 的测量值，然后使用 角平分线 定理和斯图尔特关系式进行计算。

在以下情况下确定$x$的值：

确定三角形中线的平方和与该三角形各边的平方和之间的比率。

计算边长为 6 米、10 米和 12 米的三角形的高度。

三角形 $ABC$ 的边 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$ 和 $\overline{BC}$ 尺寸分别为 5 厘米、6 厘米和 7 厘米。确定高度以及相对于 $\overline{AC}$ 侧的内部 角平分线 和相对于 $\overline{AB}$ 侧的外部 角平分线。

给定三角形 $ABC$ 的边 $a$、$b$ 和 $c$，计算从顶点 $A$ 到将底 $\overline{BC}$ 分成等于 $m$ 和 $n$ 的线段的点 $M$ 的距离。

如果$\overline{AS}$是三角形$ABC$内的角平分线，则确定$x$和$y$。

如果$\overline{AP}$是三角形$ABC$外部的角平分线，则确定$x$和$y$。

根据边 $a$、$b$ 和 $c$ 推导得出三角形的三个中线 $m_a$、$m_b$ 和 $m_c$ 的公式。

推导公式，将三角形的三个高度 $h_a$、$h_b$ 和 $h_c$ 作为边 $a$、$b$ 和 $c$ 的函数。

根据边 $a$、$b$ 和 $c$ 的函数导出提供三角形内部 角平分线、$s_a$、$s_b$ 和 $s_c$ 的表达式。

给定三角形的三条边 $a$、$b$ 和 $c$，通过推导给出外部 角平分线 的公式，获得 $s^{\prime}_a$、$s^{\prime}_b$ 和 $s^{\prime}_c$。