在任何三角形中，每条边除以对角的正弦值总是给出相同的数字：外接圆的直径。

谁发现的

正弦定理诞生于天文学，用于在天球上绘制三角形。球形版本是由伊斯兰世界的天文学家在 10 世纪获得的，其中包括 阿布·瓦法 和 阿布·纳斯尔·曼苏尔。平面三角形的形状系统地出现在 四边条约 (1260) 源自 波斯语 纳西尔·丁·图西，这使得三角学成为一门独立于天文学的学科。在欧洲，它随书而传播 关于所有类型的三角形， 从 雷吉奥蒙塔努斯，写于 1464 年，印刷于 1533 年。

Abu al-Wafa，后来的艺术代表。
Abu al-Wafa，后来的艺术代表。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域
Nasir al-Din al-Tusi，后来的艺术代表。
Nasir al-Din al-Tusi，后来的艺术代表。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域
雷吉奥蒙塔努斯。
雷吉奥蒙塔努斯。身份不明的录音机；史密森尼收藏 · 维基共享资源 · 公共领域

故事

在正弦之前，天文学家研究了弦：喜帕恰斯和托勒密将圆的每个弧的弦制成表格。圆弧的弦是圆心角一半的正弦值的两倍——这就是为什么正弦定理本质上是圆弦的结果，而本主题的演示正是使用外接圆。

尼西亚的喜帕恰斯，后来的艺术表现。
尼西亚的喜帕恰斯，后来的艺术表现。威廉·亨利·史密斯 · 维基共享资源 · 公共领域
克劳狄斯·托勒密，后来的艺术代表。
克劳狄斯·托勒密，后来的艺术代表。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域

利用正弦定理，只需测量距离和两个角度即可计算三角形的另一条边。这就是三角测量的原理，它测量了 17 世纪和 19 世纪之间的整个国家。

在日常生活中

  • 瞭望塔。 看到相同烟雾的两座塔测量视角；根据塔楼之间的距离，正弦定律将火灾定位。
  • 地形。 要测量河流的宽度，请测量一侧河岸的底部以及与另一侧河岸上的点的角度。
  • **天文学。**到附近恒星的距离是根据地球轨道的直径通过大三角形计算出来的。
  • 工程。 桁架中力的分解使用力三角形中的正弦定律。

来源： Nasir al-Din al-Tusi (MacTutor) · Abu al-Wafa (MacTutor) · Regiomontanus (MacTutor)。

理论与结构

Teorema正弦定理（正弦定理）

三角形的边与对角的正弦成正比，比例常数是三角形外接圆的直径：

$$\frac{a}{\operatorname{sen}A} = \frac{b}{\operatorname{sen}B} = \frac{c}{\operatorname{sen}C} = 2R.$$
将顶点拖动到圆上。这三个比率始终保持等于直径 2R。
查看演示

令 $O$ 为三角形 $ABC$ 外接圆的中心，$R$ 为其半径。追踪直径$\overline{BD}$，内切角$\hat D$和$\hat A$看到相同的弧$\overset{\frown}{BC}$；标志 $\hat D = \hat A$。三角形 $DCB$ 在 $C$ 中是矩形（它内接于半圆），所以

$$\operatorname{sen} D = \frac{a}{2R} \;\Rightarrow\; \operatorname{sen} A = \frac{a}{2R} \;\Rightarrow\; \frac{a}{\operatorname{sen}A} = 2R.$$

以类似的方式进行，$\dfrac{b}{\operatorname{sen}B} = 2R$和$\dfrac{c}{\operatorname{sen}C} = 2R$。

Atenção注意

如果 $\hat A$ 是钝角的，我们将得到 $\hat D = 180^{\circ} - \hat A$ 而不是 $\hat D = \hat A$，这不会改变结果，因为 $\operatorname{sen}(180^{\circ} - A) = \operatorname{sen}A$。如果$\hat A$是直的，则该关系也成立，如$\operatorname{sen}90^{\circ} = 1$和$a = 2R$。