Euler's Eyes
2026-10-11
章节练习 10 — 周长和圆
练习和决议
给定 $AB = 3x - 3$ 和 $OA = x + 3$，确定中心圆的半径 $O$。
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$r = 12$
该圆的半径为 16 厘米，点 $P$ 距离中心为 7 厘米。确定 $P$ 与圆周之间的距离。
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9 厘米
确定以下情况下$x$的值： a) $s$垂直于$\overline{AB}$； b) $\overline{PA}$ 和 $\overline{PB}$ 与圆相切。
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a) $x = 6$ · b) $x = 9$
确定$x$的值，以$O$为圆心，在以下情况下：
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a) $125^{\circ}$ · b) $145^{\circ}$
图形的圆周是外切线。如果中心之间的距离为 28 cm，半径之间的差为 8 cm，则确定半径。
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18 厘米和 10 厘米
两个圆内切，半径之和为 30 cm。如果中心之间的距离为 6 cm，则确定半径。
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18 厘米和 12 厘米
图中，圆是两两相切，圆心是三角形 $ABC$ 的顶点。 $AB = 7$ cm、$AC = 5$ cm 和 $BC = 6$ cm 确定圆的半径。
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2 厘米、3 厘米和 4 厘米
圆与 $Q$ 外切，$\overrightarrow{PA}$ 和 $\overrightarrow{PB}$ 与圆相切。确定以下情况下角度 $A\hat{Q}B$ 的测量值： a) 其中 $t$ 是公切线，$A\hat{P}B = 80^{\circ}$； b) 与$A\hat{P}B = 100^{\circ}$。
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a) $140^{\circ}$（$\triangle PAQ$和$\triangle PBQ$是等腰；使用角度之和） · b)$130^{\circ}$（考虑通过$Q$的公切线并延伸$\overline{BP}$，得到两个等腰三角形）
说出下列情况下经过点$P$并与圆$\lambda$相切的直线的条数： a) $P$属于$\lambda$； b) $P$在$\lambda$内部； c) $P$ 位于 $\lambda$ 的外部。
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a) 1 · b) 0 · c) 2
确定在以下情况下我们可以绘制到两个圆的公共切线的数量： a）同心不同； b) 外部； c) 干燥剂； d) 外部切线； e) 内部切线。
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a) 无 · b) 4 · c) 2 · d) 3 · e) 1
扇形可以与圆弧重合吗？说出案例名称。
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可以：当弦为一种直径时（均为半圆）。
在什么情况下扇形是半圆？
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当半径在同一条直线上时（它们形成直径）。
已知这条线垂直于穿过圆心的线，那么对于穿过两个彼此相切的圆的切点的线，我们能说什么呢？
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它与两个圆相切。
是否可以求出穿过圆直径中点的弦？
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是的，当那根绳子就是直径本身时。
给出半径为 $r$ 和 $R$ 的两个圆的位置，$d$ 为圆心之间的距离，在以下情况下：a) $r = 2$ cm、$R = 5$ cm、$d = 10$ cm； b) $r = 5$厘米，$R = 10$厘米，$d = 15$厘米； c) $r = 3$厘米，$R = 7$厘米，$d = 4$厘米； d) $r = 6$厘米，$R = 10$厘米，$d = 0$厘米； e) $r = 6$ 厘米、$R = 8$ 厘米、$d = 10$ 厘米。
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a) 外部 · b) 外部切线 · c) 内部切线 · d) 同心 · e) 割线
两个向外相切的圆的圆心之间的距离为 33 厘米。确定它们的直径，已知它们的半径之比为 $\dfrac{4}{7}$。
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24 厘米和 42 厘米
两个内切圆的圆心之间的距离为 5 cm。如果半径之和为 11 cm，则确定半径。
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8 厘米和 3 厘米
两个圆是割线，20 cm 是圆心之间的距离。已知最小圆的半径为 11 厘米，请确定最大圆的半径，该半径是 6 的倍数。
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12 厘米、18 厘米、24 厘米或 30 厘米
以 $A$ 和 $B$ 为圆心的两个圆分别与以 $C$ 为圆心的圆外切和内切。使用 $AB = 12$ m、$AC = 17$ m 和 $BC = 13$ m 确定这些圆的半径。
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4 m, 8 m e 21 m
令 $P$ 为三角形 $ABC$ 与边 $\overline{AB}$ 的内接圆的切点。如果$AB = 7$、$BC = 6$和$AC = 8$，$AP$值多少钱？
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$AP = 4{,}5$
考虑一个具有边 $AB = c$、$AC = b$ 和 $BC = a$ 的三角形 $ABC$，并令 $P$、$Q$ 和 $R$ 为边 $\overline{BC}$、$\overline{AC}$ 和 $\overline{AB}$ 与内切圆相切的点。计算段$AR = x$、$BP = y$和$CQ = z$。
看书上的解决办法
由切线段 $AQ = x$、$BR = y$ 和 $CP = z$ 组成。然后
$$x + y = c \ (1), \qquad x + z = b \ (2), \qquad y + z = a \ (3).$$添加 $2(x + y + z) = a + b + c = 2p$，其中 $p$ 是半周长：$x + y + z = p$ (4)。因此：
$$(4) - (3):\ x = p - a; \qquad (4) - (2):\ y = p - b; \qquad (4) - (1):\ z = p - c.$$在图中，确定线段 $\overline{BD}$ 的尺寸，已知以 $O$ 为圆心的圆内接于三角形 $ABC$，边 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$ 和 $\overline{AC}$ 的尺寸分别为 6 cm、8 cm 和 10 cm。
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$BD = 2$ 厘米
图中，中心圆$O$内接于三角形$ABC$，具有$BD = 4$、$AF = 3$和$EC = 5$。三角形 $ABC$ 的周长是多少？
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24
图中，已知$AB = c$、$BC = a$、$AC = b$、$p$为三角形的半周长，证明$AP$等于$p - a$。
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请参阅练习 356。
一个圆内切于三角形 $ABC$，并分别在 $P$、$Q$ 和 $R$ 中与边 $\overline{BC}$、$\overline{AC}$ 和 $\overline{AB}$ 相切。如果$AB = c$、$AC = b$、$BC = a$且半周长为$p$，则计算$AR$、$BP$和$CQ$。
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$AR = p - a$, $BP = p - b$ e $CQ = p - c$
图中，$PA = 10$厘米。计算三角形 $PRS$ 的周长。
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20 厘米
图中，$\overline{PA}$等于圆直径的三倍。确定三角形周长 $PDE$ 的测量值作为该圆的半径 $r$ 的函数。
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$12r$
直角三角形的斜边尺寸为 10 cm，内切圆的半径尺寸为 1 cm。计算三角形的周长。
看书上的解决办法
四边形 $SATO$ 是边长为 1 厘米的正方形。指示$BP = BT = a$和$CP = CS = b$：
$$2p = (a + 1) + (b + 1) + (a + b) = 2(a + b) + 2 = 2 \cdot 10 + 2 = 22 \text{ cm}.$$图中，计算直角三角形$ABC$内切圆的半径$r$，分别为$AB = 10$cm、$AC = 24$cm、$BC = 26$cm。
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$r = 4$ 厘米
确定直角三角形内切圆的直径，该三角形的边长为 9 厘米、12 厘米和 15 厘米。
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6 厘米
确定直角三角形内接圆的半径，直角三角形的边为 $b$ 和 $c$，斜边为 $a$。
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$r = \dfrac{b + c - a}{2}$
图中，以$2p = a + b + c$和$r$为内接圆的半径，计算斜边$a$的尺寸作为$p$和$r$的函数。
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$a = p - r$
用$AB = 3x + 1$、$BC = 2x$、$CD = x + 1$和$DA = 3x$确定图形的外接四边形$ABCD$的周长。
看书上的解决办法
由于$ABCD$是外接的，因此$AB + CD = BC + AD$:$(3x + 1) + (x + 1) = 2x + 3x \Rightarrow x = 2$。周长为 $2p = (3x + 1) + 2x + (x + 1) + 3x = 9x + 2 = 20$。
$ABCD$ 是外接四边形，其边长为 $AD = 12$ cm、$DC = 9$ cm、$BC = x + 7$ 和 $AB = 2x + 1$。确定这个四边形的周长。
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56 厘米
计算图中矩形梯形的内切圆的半径$r$值。
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$r = 6$
外接四边形的两条对边之差等于8厘米，另外两条边之差为4厘米。确定四边形的边长，56 cm 是它们的总和。
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18 厘米、16 厘米、10 厘米和 12 厘米
在图中，确定三角形 $ADE$ 的周长，已知三角形 $ABC$ 的周长为 10 厘米，底边 $\overline{BC}$ 的尺寸为 4 厘米，圆内接于四边形 $BCDE$。
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2 厘米
确定圆外接的等腰梯形的非平行边之一的尺寸，已知其底边尺寸为 30 厘米和 10 厘米。
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20 厘米
证明任何被圆外接的平行四边形都是菱形。
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在平行四边形中，$AB = CD$和$BC = AD$；对于皮托，$AB + CD = BC + AD$ 给出 $2AB = 2BC$：四个边相等。
证明直径是圆的最大弦。
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对于弦 $\overline{AB}$，$\triangle OAB$ 中的三角不等式给出 $AB \leq OA + OB = 2r$，仅当 $O \in \overline{AB}$（直径）时才相等。
证明如果圆上的两条弦到圆心的距离相同，则它们全等。
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从中心到弦的垂线长度相同，落在中点；对于全等直角三角形（边和斜边 = 半径），弦的一半相等。