Circunferência

Comprimento da circunferência

Enrole um barbante em volta de uma lata e depois estique-o sobre o diâmetro: ele cabe pouco mais de três vezes. Isso vale para qualquer lata, roda ou moeda. Esse “pouco mais de três” é o número π. Quem descobriu Que o contorno de um círculo é um pouco maior que três diâmetros já era sabido pelos babilônios e egípcios há quase 4 000 anos; eles usavam valores como 3, $3\tfrac{1}{8}$ e 3,16. Quem primeiro calculou π com garantia foi Arquimedes de Siracusa (século III a.C.): usando polígonos de 96 lados, ele provou que π está entre $3\tfrac{10}{71}$ e $3\tfrac{1}{7}$. O símbolo π foi usado pelo galês William Jones em 1706 e popularizado por Leonhard Euler.

October 12, 2026 Iniciar leitura

Exercícios do capítulo 10 — Circunferência e círculo

Exercícios e resoluções 336 Determine o raio do círculo de centro $O$, dados $AB = 3x - 3$ e $OA = x + 3$. Ver resposta$r = 12$ 337 A circunferência tem raio de 16 cm e o ponto $P$ dista 7 cm do centro. Determine a distância entre $P$ e a circunferência. Ver resposta9 cm 338 Determine o valor de $x$ nos casos: a) $s$ é perpendicular a $\overline{AB}$; b) $\overline{PA}$ e $\overline{PB}$ são tangentes à circunferência. Ver respostaa) $x = 6$ · b) $x = 9$

October 11, 2026 Iniciar leitura

Segmentos tangentes — quadriláteros circunscritíveis

De um ponto fora de uma circunferência saem duas tangentes, e os dois segmentos até os pontos de contato têm o mesmo comprimento. Quem descobriu A igualdade dos segmentos tangentes é consequência direta da proposição III.17 dos Elementos de Euclides, que ensina a traçar a tangente por um ponto exterior. Dela sai o teorema de Pitot: num quadrilátero que tem uma circunferência inscrita, as somas dos lados opostos são iguais. O engenheiro francês Henri Pitot o publicou em 1725 (veja a curiosidade sobre ele mais abaixo). A recíproca — se as somas dos lados opostos são iguais, o quadrilátero admite circunferência inscrita — foi provada no século XIX e costuma ser atribuída a Jakob Steiner.

October 11, 2026 Iniciar leitura

Posições relativas de duas circunferências

Duas circunferências podem ser secantes, tangentes, uma dentro da outra ou afastadas. A distância entre os centros decide qual é o caso. Quem descobriu Os casos básicos estão nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): duas circunferências distintas se cortam em no máximo dois pontos (proposição III.10), e, quando se tocam, o ponto de contato está na reta que une os centros (III.11 e III.12). Um século depois, Apolônio de Perga propôs o problema mais famoso sobre o tema: dadas três circunferências, traçar uma quarta tangente a todas elas.

October 11, 2026 Iniciar leitura

Posições relativas de reta e circunferência

Uma reta pode cortar uma circunferência em dois pontos, tocá-la em um só ou passar longe. A reta que só toca é a tangente. Quem descobriu As propriedades da tangente estão no livro III dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.). A proposição III.16 mostra que a reta perpendicular ao raio, na sua extremidade, toca a circunferência num único ponto, e a III.18 prova a recíproca: a tangente é perpendicular ao raio no ponto de contato. A palavra tangente vem do latim tangere, “tocar”.

October 11, 2026 Iniciar leitura

Definições e elementos

Todos os pontos à mesma distância de um centro: a definição da circunferência cabe numa linha, e ainda assim ela esconde o número π. Quem descobriu O círculo é uma das formas mais antigas da história humana, das rodas da Mesopotâmia (c. 3500 a.C.) aos monumentos de pedra. A definição rigorosa é de Euclides (definições I.15 a I.18 dos Elementos): uma figura limitada por uma linha cujos pontos estão todos à mesma distância de um ponto interior, o centro. Seu terceiro postulado garante que é possível traçar uma circunferência com qualquer centro e qualquer raio. Quem primeiro calculou com rigor a razão entre o contorno e o diâmetro foi Arquimedes (século III a.C.).

October 11, 2026 Iniciar leitura

Relação de circunferência em polígonos regulares

Nos posts anteriores falamos sobre teorema de Stewart, aqui vamos falar sobre relação de circunferência em polígonos regulares. A relação entre circunferências e polígonos regulares é um tema fascinante e complexo da geometria. Polígonos regulares são figuras geométricas com lados e ângulos congruentes, e a circunferência pode ser vista como um caso limite de um polígono regular com um número infinito de lados. Quando um polígono regular é inscrito em uma circunferência, cada um de seus vértices toca a circunferência, e o centro do polígono coincide com o centro da circunferência. Isso permite que se estabeleçam relações precisas entre o raio da circunferência e as dimensões do polígono, como o lado e o apótema (a distância do centro a um lado).

July 18, 2024 Iniciar leitura