Euler's Eyes
2026-10-11
切线段 — 外接四边形
从圆外一点引出两条切线，到切点的两条线段长度相等。
谁发现的
切线段相等是欧几里得的几何原本的命题III.17的直接结果，该命题教导如何通过外点绘制切线。这就产生了皮托定理：在有内切圆的四边形中，对边之和相等。法国工程师 Henri Pitot 在 1725 中发表了它（请参阅下面关于他的好奇心）。 倒数（如果对边之和相等，则四边形有内切周长）已在 19 世纪得到证明，通常归因于 Jakob Steiner。
故事
皮托定理的证明是一个很好的例子，说明了一个简单的性质如何产生很多结果：四边形的每个顶点都是圆外的一个点，并且有两个相等的切线段。将相对的边相加，每个线段在每个总和中恰好出现一次。
皮托的职业并不是数学家。作为一名水利工程师，他在法国南部建造了渡槽和桥梁，并发明了皮托管，可测量液体和气体的速度，并为现代飞机提供动力。
在日常生活中
- **皮带和皮带轮。**包含两个皮带轮的皮带的直线部分与轮子相切；在相同的滑轮上，它们具有相同的长度。
- **自行车链条。**它离开齿冠相切，到达棘轮相切。
- **灯塔视图。**从灯塔顶部看，接触圆岛的两条视线到接触点为止的长度相同。
- 飞机的速度。 皮托管与该定理由同一位工程师发明，是测量飞机相对于空气的速度的传感器。
来源： 元素，命题 III.17 · 亨利·皮托 (Wikipedia) · Steiner (MacTutor)。
理论与结构
Teorema切线段
如果从点 $P$ 开始，我们驱动线段 $\overline{PA}$ 和 $\overline{PB}$，两者都与圆相切，$A$ 和 $B$ 在圆上，然后是 $PA = PB$。另外，中心位于$A\hat{P}B$的角平分线处。
演示。 三角形 $PAO$ 和 $PBO$ 是 $A$ 和 $B$（切线 ⊥ 半径）的矩形，具有 $OA = OB$（斜边）和 $\overline{OP}$ 公共点（斜边）。由于特殊情况，它们是全等的：$PA = PB$。
Teorema外接四边形（皮托定理）
如果凸四边形的四个边与圆相切，则凸四边形是圆的外切。
a) 如果凸四边形被圆外接，则两个相对边的和等于另外两个边的和：$AB + CD = AD + BC$。
b) **倒数：**如果在凸四边形 $AB + CD = AD + BC$ 中，则它是外接的。
因此，这个等式是凸四边形外接的充要条件。
查看演示
a) 设 $X$、$Y$、$Z$、$T$ 为 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CD}$、$\overline{DA}$ 处的切点。通过切线段 $AX = AT$、$BX = BY$、$CZ = CY$ 和 $DZ = DT$。添加：$AX + BX + CZ + DZ = AT + BY + CY + DT$，即$AB + CD = AD + BC$。
b) 令 $\lambda$ 为与 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$ 和 $\overline{CD}$ 相切的圆。如果不外接 $ABCD$，则会出现 $ABCX$，其中 $X$ 在 $CD$ 行上，外接于 $\lambda$：$AB + CX = BC + AX$ (1)。根据假设，$AB + CX \pm XD = AD + BC$，即$AB + CX = AD + BC \mp XD$（2）。从 (1) 和 (2) 得到 $AX = AD \mp XD$ — 这在三角形 $ADX$（三角不等式）中是荒谬的。
